Toán 10 Kết nối tri thức Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành (Hình cho sau) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc \(\alpha\), \(0^\circ  \le \alpha  \le 180^\circ \). Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị nói trên đề \(\widehat {xOM} = \alpha \). 

Ta có các công thức sau:

Sau đây là bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ.

Chú ý

- Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị \(x \le {90^0}\).

- Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím sin tương  ứng bởi phim cos , tan.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Giải 

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = 135^\circ \). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì \(\widehat {xOM} = 135^\circ \) nên \(\widehat {MON} = 45^\circ \), \(\widehat {MOP} = 45^\circ \). Vậy các tam giác MON, MOP là vuông cân với cạnh huyền OM= 1.

Từ đó, ta có \(ON = OP = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên có toạ độ là \(\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\). 

Theo định nghĩa, ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin {135^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\;\;\;\;\;\;\;\;cos{135^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\\
\tan {135^0} =  - 1;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cot {135^0} =  - 1
\end{array}\)

Ở lớp 9, em đã biết mối quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. Trong mục này, em hãy tìm mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

Đối với một góc \(\alpha\) tuỳ ý \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\), gọi M, M' là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau \(\alpha\) và \({180^0} - \alpha \) \(\left( {\widehat {xOM} = \alpha ,\widehat {xOM'} = {{180}^0} - \alpha } \right)\)

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của các góc 120°,135°,150°.

Giải

Do các góc 120°,135°,150° tương ứng bù với các góc 60°,45°,30°, ta cũng có bảng các giá trị lượng giác sau:

Câu 1:

a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{l}\alpha  = {90^o};\\\alpha  < {90^o};\\\alpha  > {90^o}.\end{array}\)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\), nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) với hoành độ và tung độ của điểm M.

Hướng dẫn giải

a) Khi \(\alpha  = {90^o}\), điểm M trùng với điểm C. (Vì \(\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}\))

Khi \(\alpha  < {90^o}\), điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi \(\alpha  > {90^o}\), điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}\)

Vì \(OM = R = 1\); \({x_0} \in \)tia \(Ox\)nên \({x_0} > 0\); \({y_0} \in \)tia \(Oy\)nên \({y_0} > 0\)

Vậy \(\cos \alpha \) là hoành độ \({x_0}\)của điểm M, \(\sin \alpha \) là tung độ \({y_0}\) của điểm M.

Câu 2:

Trong hình cho sau, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \) (\(\widehat {xOM} = \alpha ,\;\;\widehat {xON} = {90^o} - \alpha \)). Chứng mình rằng \(\Delta MOP = \Delta NOQ\). Từ đó nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha \) và \(\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\).

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1:  \(\alpha  = {90^o}\)

Khi đó \({90^o} - \alpha  = {0^o}\)

Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.

Và  \(\cos \alpha  = 0 = \sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\)

Trường hợp 2: \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow {0^o} < {90^o} - \alpha  < {90^0}\)

M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.

Ta có: \(\alpha  = \widehat {AOM};\;\;{90^o} - \alpha  = \widehat {AON}\)

Dễ thấy: \(\widehat {AON} = {90^o} - \alpha  = {90^o} - \widehat {NOB}\;\;\; \Rightarrow \alpha  = \widehat {NOB}\)

Xét hai tam giác vuông \(NOQ\) và tam giác \(MOP\)  ta có:

\(OM = ON\)

\(\widehat {POM} = \widehat {QON}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta NOQ = \Delta MOP\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OP = OQ\\QN = MP\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(N\left( {{y_o};{x_0}} \right)\). Nói cách khác:

\(\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Nắm được định nghĩa giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến và giá trị lượng giác của các góc đặc biệt từ đến

- Hiểu quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

- Hiểu khái niệm góc giữa hai vectơ, nắm được cách xác định góc giữa hai vectơ

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho góc α thỏa mãn \({0^o} < \alpha  < {90^o}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. Các giá trị lượng giác của α là các số dương
  • B. Các giá trị lượng giác của α là các số âm 
  • C. sin α và tan α trái dấu 
  • D. cos α và tan α trái dấu 

• Câu 2:

   Cho tam giác ABC . Hãy tính \(\sin A \cdot \cos (B+C)+\cos A \cdot \sin (B+C)\)

  • A. 0
  • B. 1
  • C. -1
  • D. 2

• Câu 3:

  Cho biết \(\cos \alpha\) bằng bao nhiêu nếu \(\cot \alpha  =  - \frac{1}{2}\) ?

  • A. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
  • B. \(\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\) 
  • C. \(-\frac{\sqrt{5}}{5}\)
  • D. \(-\frac{1}{3}\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 35 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 36 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 36 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.2 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.1 trang 32 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.2 trang 32 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.3 trang 33 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.4 trang 33 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.5 trang 34 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 3.6 trang 34 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!