Bài tập 2 trang 90 SGK Giải tích 12

Hướng dẫn:

Ta sử dụng các phương pháp sau để giải các bất phương trình lôgarit bài 2:

Câu a, câu b, câu c: dùng phương pháp đưa về cùng cơ số:

• Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
• Với \(0\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)0 \end{matrix}\right.\)

Câu d: dùng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

\(\small log_8(4- 2x) \geq 2\)

Điều kiện: x ≤ 2.

Ta có: \(2 = {\log _8}{8^2}\)  suy ra: log₈(4- 2x) ≥ \({\log _8}{8^2}\) ⇔ 4- 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ -30.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ; - 30} \right].\)

Câu b:

\(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 3x - 5 > 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}.\)

Khi đó: \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\) ⇔ 3x - 5 < x + 1 ⇔ x < 3.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {\frac{5}{3};3} \right).\)

Câu c:

\(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\)

Điều kiện: x > 2. 

log₅(x- 2) = \({\log _{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{ - 1}}}}\left( {x - 2} \right)\) = -log_0,2(x- 2).

Suy ra:

\(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\)

⇔log_0,2x + log_0,2(x- 2) < log_0,23 

⇔ log_0,2 x(x- 2) < log_0,23 ⇔ x (x - 2) > 3 

⇔ x²- 2x – 3 > 0 ⇔ x<-1 hoặc x>3.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {3; + \infty } \right).\)

Câu d:

\(log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0\)

Điều kiện: x>0.

Đặt t = log₃x. Bất phương trình trở thành:

t² – 5t + 6 ≤  0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3.

Suy ra: 2 ≤ log₃x ≤3 ⇔ \({\log _3}{3^2}\) ≤  log₃x ≤ \({\log _3}{3^3}\)  ⇔ 9 ≤ x ≤ 27.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ {9;27} \right].\)

-- Mod Toán 12 HỌC247