Bài tập 17 trang 195 SGK Toán 12 NC

* Giả sử z = x + yi là căn bậc hai của −i, ta có:

\(\begin{array}{l}
{(x + yi)^2} =  - i\\
 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi =  - i\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = 0\left( 1 \right)}\\
{2xy =  - 1\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Từ (2) suy ra \(y = \frac{{ - 1}}{{2x}}\) thế vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - \frac{1}{{4{x^2}}} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)

- Với \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) có \(y =  - \frac{1}{{2x}} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

- Với \(x = \frac{-1}{{\sqrt 2 }}\) có \(y =  - \frac{1}{{2x}} =  \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Hệ phương trình có 2 nghiệm:

\(\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right);\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Vậy -i có hai căn bậc hai là \({z_1} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i,{z_2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\)

* Giả sử z = x + yi là căn bậc hai của 4i, ta có:

\(\begin{array}{l}
{(x + yi)^2} = 4i\\
 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = 0\left( 1 \right)}\\
{xy = 2\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Thay y = 2/x vào phương trình (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
{x^2} - \frac{4}{{{x^2}}} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 
\end{array}\)

Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = \frac{2}{x} = \sqrt 2 \)

Với \(x = -\sqrt 2 \) ta có \(y = \frac{2}{x} = - \sqrt 2 \)

Hệ có hai nghiệm:

\(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right);\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)

Vậy 4i có hai căn bậc hai là: 

\({z_1} = \sqrt 2  + \sqrt 2 i;{z_2} =  - \sqrt 2  - \sqrt 2 i\)

* Ta có −4 = 4i² = (2i)² do đó −4 có hai căn bậc hai là ±2i

Giả sử  z = x + yi là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\)

\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} = 1}\\
{2xy = 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}}\\
{{x^2} - \frac{{12}}{{{x^2}}} = 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}}\\
{{x^2} = 4}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = \sqrt 3 }
\end{array}} \right. \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 2}\\
{y =  - \sqrt 3 }
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { - 2; - \sqrt 3 } \right)\)

Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là \({z_1} = 2 + \sqrt 3 i,{z_2} =  - 2 - \sqrt 3 i\)

-- Mod Toán 12 HỌC247