ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC

Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2 + Bz + C = 0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 là:

\(z = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}({\delta ^2} = {B^2} - 4AC)\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} =  - \frac{B}{A};\\
{z_1}.{z_2} = \frac{{( - B - \delta )( - B + \delta )}}{{2A.2A}}\\
 = \frac{{{B^2} - {\delta ^2}}}{{4{A^2}}} = \frac{{4AC}}{{4{A^2}}} = \frac{C}{A}
\end{array}\)

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

b) Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha ;{z_1}{z_2} = \beta \)

\({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}
(z - {z_1})(z - {z_2}) = 0\\
 \Leftrightarrow {z^2} - ({z_1} + {z_2})z + {z_1}{z_2} = 0\\
 \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta  = 0
\end{array}\)

Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i,{z_1}{z_2} = 5(1 - i)\)

Nên z1; z2 là hai nghiệm phương trình.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0}\\
\begin{array}{l}
\Delta  = {(4 - i)^2} - 20(1 - i)\\
 = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i\\
 =  - 5 + 12i
\end{array}
\end{array}\)

Giả sử

\(\begin{array}{l}
{(x + yi)^2} =  - 5 + 12i\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} =  - 5}\\
{2xy = 12}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - \frac{{36}}{{{x^2}}} =  - 5}\\
{y = \frac{6}{x}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^4} + 5{x^2} - 36 = 0}\\
{y = \frac{6}{x}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 3}
\end{array}} \right. \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 2}\\
{y =  - 3}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy Δ có hai căn bậc hai là ±(2 + 3i).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

\(\begin{array}{l}
{z_1} = \frac{1}{2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\\
{z_2} = \frac{1}{2}[4 - i - (2 + 3i)] = 1 - 2i
\end{array}\)

c) Nếu phương trình z2 + Bz + C = 0 có hai nghiệm z1, z2 là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \) thì theo công thức Viet, \(B =  - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) =  - \left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)\) là số thực, \(C = {z_1}{z_2} = {z_1}\overline {{z_1}} \) là số thực

Điều ngược lại không đúng vì nếu B, C thực thì Δ = B2 − 4AC > 0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. (Khi Δ ≤ 0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
AMBIENT

 

AMBIENT
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 894_1634779022.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/tieuhoc247
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)