Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az² + Bz + C = 0 là:

\(z = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}({\delta ^2} = {B^2} - 4AC)\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} =  - \frac{B}{A};\\
{z_1}.{z_2} = \frac{{( - B - \delta )( - B + \delta )}}{{2A.2A}}\\
 = \frac{{{B^2} - {\delta ^2}}}{{4{A^2}}} = \frac{{4AC}}{{4{A^2}}} = \frac{C}{A}
\end{array}\)

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

b) Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha ;{z_1}{z_2} = \beta \)

\({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}
(z - {z_1})(z - {z_2}) = 0\\
 \Leftrightarrow {z^2} - ({z_1} + {z_2})z + {z_1}{z_2} = 0\\
 \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta  = 0
\end{array}\)

Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i,{z_1}{z_2} = 5(1 - i)\)

Nên z₁; z₂ là hai nghiệm phương trình.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0}\\
\begin{array}{l}
\Delta  = {(4 - i)^2} - 20(1 - i)\\
 = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i\\
 =  - 5 + 12i
\end{array}
\end{array}\)

Giả sử

\(\begin{array}{l}
{(x + yi)^2} =  - 5 + 12i\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - {y^2} =  - 5}\\
{2xy = 12}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - \frac{{36}}{{{x^2}}} =  - 5}\\
{y = \frac{6}{x}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^4} + 5{x^2} - 36 = 0}\\
{y = \frac{6}{x}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 3}
\end{array}} \right. \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 2}\\
{y =  - 3}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy Δ có hai căn bậc hai là ±(2 + 3i).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

\(\begin{array}{l}
{z_1} = \frac{1}{2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\\
{z_2} = \frac{1}{2}[4 - i - (2 + 3i)] = 1 - 2i
\end{array}\)

c) Nếu phương trình z² + Bz + C = 0 có hai nghiệm z₁, z₂ là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \) thì theo công thức Viet, \(B =  - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) =  - \left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)\) là số thực, \(C = {z_1}{z_2} = {z_1}\overline {{z_1}} \) là số thực

Điều ngược lại không đúng vì nếu B, C thực thì Δ = B² − 4AC > 0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. (Khi Δ ≤ 0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).

-- Mod Toán 12 HỌC247