ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC

Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

\(\begin{array}{l}
a){z^3} + 1 = 0\\
b){z^4} - 1 = 0\\
c){z^4} + 4 = 0\\
d)8{z^4} + 8{z^3} = z + 1
\end{array}\)

VDO.AI

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) \({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)({z^2} - z + 1) = 0\)

Nghiệm của z + 1 = 0 là z= -1

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{z^2} - z + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} =  - \frac{3}{4} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = {z_2}}\\
{z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = {z_3}}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1;\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i;\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}\)

b)

\(\begin{array}{l}
{z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow ({z^2} - 1)({z^2} + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} - 1 = 0\\
{z^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z =  \pm 1\\
z =  \pm i
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình có 4 nghiệm S = {i; -i; 1; -1}

c) \({z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow ({z^2} + 2i)({z^2} - 2i) = 0\)

Nghiệm của z2 + 2i = 0 là các căn bậc hai của -2i, đó là z= 1−i, z= −1+i

Nghiệm của z2 − 2i = 0 là các căn bậc hai của 2i, đó là z3 = 1 + i, z4 = −1 − i

Vậy z4 + 4 = 0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4

d)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\\
 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow (z + 1)(2z - 1)(4{z^2} + 2z + 1) = 0}
\end{array}\)

Nghiệm của z + 1 = 0 là z= −1

Nghiệm của 2z − 1 = 0 là z2 = 1/2

Nghiệm của 4z2 + 2z + 1 = 0

hay\(\left( {2z + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\) là 

\({z_3} =  - \frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}i,{z_4} =  - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4 

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
  • Thiên Mai

    Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2 + 3z + 4 = 0. Tính \(\small M=\left | z_1-z_2 \right |\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  •  
     
    Ha Ku

    Gọi A, B là hai điểm biểu diễn các nghiệm phức của phương trình \(z^2+2z+3=0\) . Tính độ dài đoạn thẳng AB.

    Theo dõi (0) 1 Trả lời

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 809_1633914298.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/ma-tk-vip/?utm_source=hoc247net&utm_medium=PopUp&utm_campaign=Hoc247Net
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)