Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC

a) \({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)({z^2} - z + 1) = 0\)

Nghiệm của z + 1 = 0 là z₁ = -1

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{z^2} - z + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} =  - \frac{3}{4} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = {z_2}}\\
{z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = {z_3}}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1;\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i;\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right\}\)

b)

\(\begin{array}{l}
{z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow ({z^2} - 1)({z^2} + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} - 1 = 0\\
{z^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z =  \pm 1\\
z =  \pm i
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình có 4 nghiệm S = {i; -i; 1; -1}

c) \({z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow ({z^2} + 2i)({z^2} - 2i) = 0\)

Nghiệm của z² + 2i = 0 là các căn bậc hai của -2i, đó là z₁ = 1−i, z₂ = −1+i

Nghiệm của z² − 2i = 0 là các căn bậc hai của 2i, đó là z₃ = 1 + i, z₄ = −1 − i

Vậy z⁴ + 4 = 0 có bốn nghiệm z₁, z₂, z₃, z₄

d)

\(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\)

Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} =  - 1\)

Nghiệm của \(2z - 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\)

Phương trình \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) có \(\Delta ' = 1 - 4 =  - 3\) nên có nghiệm là \({z_3} =  - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\) và \({z_4} =  - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i\)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247