Bài tập 25 trang 199 SGK Toán 12 NC

a) 1 + i là một nghiệm của phương trình z² + bz + c = 0 khi và chỉ khi

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0\\
 \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow b + c + (2 + b)i = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b + c = 0}\\
{2 + b = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b =  - 2}\\
{c = 2}
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)

b) 1 + i là một nghiệm của z³ + az² + bz + c = 0  khi và chỉ khi

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{(1 + i)^3} + a{(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0\\
 \Leftrightarrow (b + c - 2) + (2 + 2a + b)i = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b + c - 2 = 0(1)}\\
{2a + b + 2 = 0(2)}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

2 là nghiệm của z³ + az² + bz + c = 0 khi và chỉ khi 8 + 4a + 2b + c = 0 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c = 2\\
2a + b =  - 2\\
4a + 2b + c =  - 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 4\\
b = 6\\
c =  - 4
\end{array} \right.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247