Bài tập 3.22 trang 124 SBT Toán 11

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Áp dụng công thức u₁ + u₃ = 2u₂ suy ra u₂ = 9   (3)

Thay u₂ = 9 vào (1) và (2) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_3} = 18\\
u_1^2 + u_3^2 = 194
\end{array} \right.\)

Từ đây tìm được u₁ = 5, u₃ = 13 hoặc u₁ = 13, u₃ = 5

Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5.

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Từ (2) ta có:

\(\begin{array}{l}
{b^2} = u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + ...{\left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]^2}\\
 = nu_1^2 + 2{u_1}d\left[ {1 + 2 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] + {d^2}\left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right]\\
 = nu_1^2 + n\left( {n - 1} \right){u_1}d + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right){d^2}}}{6}\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}
a = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}\\
 \Leftrightarrow {u_1} = \frac{a}{n} - \frac{{\left( {n - 1} \right)d}}{2}\,\,\left( {**} \right)
\end{array}\)

Thay (**) vào (*) ta được:

\(d =  \pm \sqrt {\frac{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)}}{{{n^2}\left( {{n^2} - 1} \right)}}} ;{u_1} = \frac{1}{n}\left[ {a - \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}} \right]\)

-- Mod Toán 11 HỌC247