Phần hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương Bài 3 Cấp số cộng sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản-Nâng cao.
-
Bài tập 1 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a) \(u_n = 5 - 2n\);
b) \(u_n =\frac{n}{2}-1\);
c) \(u_n = 3^n\);
d) \(u_n =\frac{7-3n}{2}\)
-
Bài tập 2 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} u_{1}-u_{3}+u_{5}=10\\ u_{1}+u_{6=17} \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_{7}-u_{3}=8\\ u_{2}.u_{7}=75 \end{matrix}\right.\).
-
Bài tập 3 trang 97 SGK Đại số & Giải tích 11
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n.\)
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
-
Bài tập 4 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng 2 gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm.
a) Hãy viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
-
Bài tập 5 trang 98 SGK Đại số & Giải tích 11
Từ giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ
-
Bài tập 3.18 trang 123 SBT Toán 11
Cho dãy số (un) với un = 1 - 7n
a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số ;
c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.
-
Bài tập 3.19 trang 124 SBT Toán 11
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
a) un = 3n − 1;
b) un = 2n + 1;
c) un = (n+1)2 − n2;
d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
{u_{n + 1}} = 1 - {u_n}
\end{array} \right.\) -
Bài tập 3.20 trang 124 SBT Toán 11
Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết :
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2{u_5} = 0\\
{S_4} = 14
\end{array} \right.\)b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} = 10\\
{u_7} = 19
\end{array} \right.\)c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\
{u_1} + {u_6} = 7
\end{array} \right.\)d) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_7} - {u_3} = 8\\
{u_2}.{u_1} = 75
\end{array} \right.\) -
Bài tập 3.21 trang 124 SBT Toán 11
Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu
\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\\
{a_2} + {a_{2n}} = 42
\end{array} \right.\) -
Bài tập 3.22 trang 124 SBT Toán 11
Tìm cấp số cộng (un) biết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275
\end{array} \right.\)b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\
u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}
\end{array} \right.\) -
Bài tập 3.23 trang 124 SBT Toán 11
Tìm x từ phương trình
a) 2 + 7 + 12 + ... + x = 245, biết 2, 7, 12, ..., x là cấp số cộng.
b) (2x + 1) + (2x + 6) + (2x + 11) + ... + (2x + 96) = 1010 biết 1, 6, 11, ... là cấp số cộng.
-
Bài tập 3.24 trang 124 SBT Toán 11
Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau:
A. \({u_n} = {2^n} + 1\)
B. \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{n}\)
C. \(u_n=5n\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\) -
Bài tập 3.25 trang 124 SBT Toán 11
Cho cấp số cộng u1 = -2; u19 = 52. Tổng của 20 số hạng đầu là:
A. 1060 B. -570 C. 530 D. -530
-
Bài tập 3.26 trang 124 SBT Toán 11
Cho cấp số cộng 5, x, y, 17. Khi đó:
A. x = 9; y = 12 B. x = 8; y = 14
C. x = 7; y = 12 D. x = 9; y = 13
-
Bài tập 19 trang 114 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:
a. Dãy số (un) với un = 19n–5;
b. Dãy số (un) với un = an+b, trong đó a và b là các hằng số.
-
Bài tập 20 trang 114 SGK Toán 11 NC
Trên tia Ox lấy ác điểm A1, A2, …, An,… sao cho mỗi số nguyên dương n, OAn = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n= 1,2,… Kí hiệu là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn -1 , nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox. Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
-
Bài tập 21 trang 114 SGK Toán 11 NC
Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
a. Mỗi cấp số cộng với công sai d>0d>0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
b. Mỗi cấp số cộng với công sai d<0d<0 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm.
-
Bài tập 22 trang 115 SGK Toán 11 NC
Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.
-
Bài tập 23 trang 115 SGK Toán 11 NC
Cho cấp số cộng (un) có u20 = − 52 và u51 = − 145. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
-
Bài tập 24 trang 115 SGK Toán 11 NC
Cho cấp số cộng (un) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng um = uk+(m−k)d.
Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (un) mà u18 − u3 = 75.
-
Bài tập 25 trang 115 SGK Toán 11 NC
Cho cấp số cộng (un) có u1−u3 = 6 và u5 = −10. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
-
Bài tập 26 trang 115 SGK Toán 11 NC
Hãy chứng minh định lí 3.
-
Bài tập 27 trang 115 SGK Toán 11 NC
Cho cấp số cộng (un) có u2+u22 = 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
-
Bài tập 28 trang 116 SGK Toán 11 NC
Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.