Toán 11 Kết nối tri thức Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov. Kí hiệu là (Ou,Ov).

Khi đó, nếu tia Om

- quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc 360°,

- quay theo chiều dương đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720,

- quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc –180°,

- quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc -1,5 . 360° = -540°, ...

Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov. Kí hiệu là sđ (Ou,Ov).

Chú ý.

- Cho hai tia Ou, Ov thi có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov.

- Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou,Ov).

- Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360°.

b) Hệ thức Chasles

Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou,Ow) + k360° (k ∈ Z).

Nhận xét. Từ hệ thức Chasles, ta suy ra:

Với ba tia tuỳ ý Ox, Ou, Ov ta có: 

sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) - sđ(Ox, Ou) + k360° (k ∈ Z).

Hệ thức này đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

- Đơn vị độ: Góc 1° bằng \(1\over 180\) góc bẹt.

Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: 1° = 60’; 1’ = 60".

- Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một cung AB trên (O) (H.1.6).

Quan hệ giữa độ và radian:

360° = \(2\pi\) rad. 1° = \(\pi\over 180\)  rad và 1 rad = \({180\over \pi}^°\)

 

Chú ý: Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc \(\pi\over 2\) được hiểu là góc \(\pi\over 2\) rad.

Bảng tương ứng giữa độ và rađian của các góc đặc biệt trong phạm vi từ 0° đến 180°

Độ	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
Rađian	0	\(\pi\over 6\)	\(\pi\over 4\)	\(\pi\over 3\)	\(\pi\over 2\)	\(2\pi\over 3\)	\(3\pi\over 4\)	\(5\pi\over 6\)	\(\pi\)

b) Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha\) rad thì có độ dài l = R\(\alpha\).

 

a) Đường tròn lượng giác                                              

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các góc lượng giác có số đo tuỳ ý như sau: Giả sử M(x; y) là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha\).

- Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của \(\alpha\), kí hiệu là cos\(\alpha\). cos\(\alpha\) = x.  - Tung độ y của điểm M được gọi là sin của \(\alpha\), kí hiệu là sin\(\alpha\). sin\(\alpha\) = y.  - Nếu cos α ≠ 0, tỉ số \(\sin \alpha \over \cos \alpha\) được gọi là tang của \(\alpha\), kí hiệu là tan\(\alpha\). \(\tan\alpha = {\sin \alpha \over \cos \alpha} = {y \over x}, \quad (x\ne 0)\).  - Nếu sina ≠ 0, tỉ số \(\cos \alpha \over \sin \alpha\) được gọi là côtang của \(\alpha\), kí hiệu là cot\(\alpha\). \(\cot\alpha = {\cos \alpha \over \sin \alpha} = {x \over y}, \quad (y\ne 0)\).  - Các giá trị cos \(\alpha\), sin\(\alpha\), tan\(\alpha\), cot\(\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của \(\alpha\).

 

Chú ý

- Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin,

- Từ định nghĩa ta suy ra

+) sin \(\alpha\), cos \(\alpha\) xác định với mọi giá trị của \(\alpha\) và ta có:

-1 ≤ sin\(\alpha\) ≤ 1;

-1 ≤ cos\(\alpha\) ≤ 1;

\(\sin (\alpha +k2\pi)=\sin \alpha\);

\(\cos (\alpha +k2\pi)=\cos \alpha\).

+) tan \(\alpha\) xác định khi \(\alpha\ne {\pi\over 2} + k\pi, (k\in \mathbb{Z})\).

+) cot\(\alpha\) xác định khi \(\alpha\ne {\pi} + k\pi, (k\in \mathbb{Z})\).

Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác (H.1.10).

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

 

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc

Có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngược lại.

Ví dụ. Sử dụng máy tính cầm tay để tính: sin chữ số thập phân thứ tư).

Giải

a) Các công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giả trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau

\(\begin{array}{l} {\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\\ 1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\left( {a \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right)\\ 1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}\left( {a \ne k\pi ,k \in Z} \right)\\ \tan a.\cot a = 1 \end{array}\)

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

- Góc đối nhau: a và - a.

\(\cos \left( { - a} \right) = \cos a\\ \sin \left( { - a} \right) = - \sin a\\ \tan \left( { - a} \right) = - \tan a\\ \cot \left( { - a} \right) = - \cot a.\)

- Góc bù nhau: a và \(\pi { - a}\).

\(\sin \left(\pi { - a} \right) = \sin a\\ \cos \left(\pi { - a} \right) = -\cos a\\ \tan \left(\pi { - a} \right) = - \tan a\\ \cot \left(\pi { - a} \right) = - \cot a.\)

- Góc phụ nhau: a và \({\pi \over 2} { - a} \).

\(\sin \left({\pi \over 2} { - a} \right) = \cos a\\ \cos \left({\pi \over 2} { - a} \right) = \sin a\\ \tan \left({\pi \over 2} { - a} \right) = \cot a\\ \cot \left({\pi \over 2} { - a} \right) = \tan a.\)

- Góc hơn kém \(\pi\): a và \({\pi} { a} \).

\(\sin \left(\pi {+ a} \right) = - \sin a\\ \cos \left(\pi { + a} \right) = -\cos a\\ \tan \left(\pi {+a} \right) = \tan a\\ \cot \left(\pi {+ a} \right) = \cot a.\)

 

Câu 1: Đổi số đo của các góc sau đây ra rađian

a) 18°;

b) 57°30';

c) -25°;

d) -125°45'.

 

Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn, có số đo 

a) \(\frac{\pi }{{15}}\)

b) \(1,5\)

c) \(37^\circ \)

 

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} a)L{\rm{ }} = {\rm{ }}R\alpha {\rm{ }} = 20.\frac{\pi }{{15}} = \frac{4}{3}\pi = {\rm{ }}4,19{\rm{ }}\left( {cm} \right);\\ b)L{\rm{ }} = {\rm{ }}R\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}20.1,5{\rm{ }} = {\rm{ }}30{\rm{ }}\left( {cm} \right);\\ c)37^\circ {\rm{ }} = \frac{{37\pi }}{{180}}(rad)\\ \Rightarrow {\rm{ }}L{\rm{ }} = {\rm{ }}R\alpha {\rm{ }} = 20.\frac{{37\pi }}{{180}} = \frac{{37}}{9}\pi = 12,92{\rm{ }}\left( {cm} \right). \end{array}\)

Học xong bài học này, em có thể:

- Nhận biết các khái niệm về góc lượng giác, giá trị lượng giác của một góc lượng giác.

- Mô tả bằng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đổi nhau, hơn kém nhau .

- Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó, giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 1 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Biểu thức \({\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x\) không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng:

  • A. 6
  • B. 5
  • C. 3
  • D. 4

• Câu 2:

  Cho \({\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{2}{5}\,\,\,\left( {\pi  < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng: 

  • A. M=4
  • B. M=7/2
  • C. M=1/2
  • D. \(M = 3 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

• Câu 3:

  Kết quả rút gọn của biểu thức \({\left( {\frac{{\sin \alpha  + \tan \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + 1}}}}} \right)^2} + 1\) bằng:

  • A. 2
  • B. 1+tan\(\alpha \)
  • C. \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)
  • D. \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 1 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Mở đầu trang 5 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 7 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 8 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 9 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng 1 trang 10 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 4 trang 10 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 4 trang 11 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 4 trang 11 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 4 trang 12 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 5 trang 13 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 5 trang 13 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 6 trang 14 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 6 trang 14 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 7 trang 15 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng 2 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.1 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.2 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.3 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.4 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.5 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.6 trang 16 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài tập 1.1 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.2 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.3 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.4 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.5 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.6 trang 7 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.7 trang 8 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.8 trang 8 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.9 trang 8 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!