Toán 11 Kết nối tri thức Bài 3: Hàm số lượng giác

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}\). - Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx. Tập xác định của hàm số cô, sin là \(\mathbb{R}\). - Hàm số tang là hàm số được cho bằng công thức \(y = {\sin x \over \cos x}\), kí hiệu là y= tanx. Tập xác định của hàm số tang là \(\mathbb{R} \backslash\{{\pi \over 2}+k\pi|k\in \mathbb{Z} \}\). - Hàm số côtang là hàm số được cho bằng công thức \(y = { \cos x\over \sin x}\), kí hiệu là y= cotx. Tập xác định của hàm số cotang là \(\mathbb{R} \backslash\{k\pi| k\in \mathbb{Z}\}\).

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. - Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\)  thì \(− x \in D\) và f(-x)=f(x).  Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng. - Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \(− x \in D\) và f(-x)=-f(x). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng.

 

Nhận xét. Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số với những x dương, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc toạ độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

b) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T khác 0 sao cho với mọi x \(\in\) D ta có:  i) \(x+ T \in D\) và \(x− T \in D\)  ii) f(x+T)= f(x).  Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

 

Nhận xét

- Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì \(2\pi\). Các hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

- Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T], sau đó dịch chuyền song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, ... ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Hàm số y = sin x: - Có tập xác định là R và tập giá trị là [-1; 1]. - Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(2\pi\). - Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-{\pi \over 2}+k2\pi;{\pi \over 2}+k2\pi\right)\), và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left({\pi \over 2}+k2\pi;{3\pi \over 2}+k2\pi\right), k\in \mathbb{Z}\). - Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ và gọi là một đường hình sin.

Hàm số y = cos x: - Có tập xác định là R và tập giá trị là [-1; 1]. - Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì \(2\pi\). - Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-{\pi}+k2\pi;k2\pi\right)\), và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(k2\pi;{\pi }+k2\pi\right), k\in \mathbb{Z}\). - Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Hàm số y = tan x: - Có tập xác định là R \(\backslash\left\{{\pi \over 2}+k\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}\) và tập giá trị là R. - Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi\). - Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-{\pi \over 2}+k\pi;{\pi \over 2}+k\pi\right), k\in \mathbb{Z}\). - Có đồ thị là đối xứng qua gốc toạ độ.

Hàm số y = cot x: - Có tập xác định là R \(\backslash\left\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}\) và tập giá trị là R. - Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \(\pi\). - Nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(k\pi;{\pi}+k\pi\right), k\in \mathbb{Z}\). - Có đồ thị là đối xứng qua gốc toạ độ.

Câu 1: Tìm tập xác định của các hàm số: \(y = \frac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\).

 

Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = \frac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\) xác định khi sinx≠0⇔x≠kπ,k∈Z$.$

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

 

Câu 2: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số \(y = \frac{{\cos2x}}{x}\)

 

Hướng dẫn giải

Học xong bài học này, em có thể:

- Nhận biết các khái niệm và đặc trưng hình học của hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, nhận biết hàm số lượng giác y = sin x, y = cosx, y = tan x, y = cot x thông qua đường tròn lượng giác. Mô tả bảng giá trị của bốn hàm số lượng giác đó trên một chu kì.

- Giải thích tập xác định; tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số, vẽ đồ thị của các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cotx.

- Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số lượng giác.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 1 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Hàm số \(y = 2cos^2x – 1\) là hàm tuần hoàn với chu kì:

  • A. T = π.
  • B. T = 2π.
  • C. T = π².
  • D. T = π/2.

• Câu 2:

  Hàm số y = sin(π/2−x) + cot(x/3) là hàm tuần hoàn với chu kì:

  • A. T = π.
  • B. T = 2π.
  • C. T = 3π.
  • D. T = 6π.

• Câu 3:

  Hình vẽ bên là một phần đồ thị của hàm số nào sau đây?

  

  • A. y = sinx/2
  • B. y = cosx/2
  • C. y = - cosx/4
  • D. y = sin( - x/2)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 1 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Mở đầu trang 22 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 23 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 24 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 24 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Câu hỏi trang 24 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 3 trang 25 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 4 trang 25 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 4 trang 26 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 5 trang 26 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 5 trang 27 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng 2 trang 27 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 6 trang 28 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 6 trang 29 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 7 trang 29 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 7 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.15 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.16 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.17 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.18 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải Bài 1.19 trang 30 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Bài tập 1.16 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.18 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.19 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.20 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.21 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.22 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.23 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Bài tập 1.24 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!