Hiểu rõ tầm quan trọng của việc nắm vững lý thuyết cũng như các phương pháp giải trắc nghiệm trong quá trình học tập bài mới, HOC247 đã biên soạn tóm tắt bài Phương trình lượng giác cơ bản và bài tập minh hoạ có hướng dẫn giải chi tiết. Ngoài ra, các em cũng có thể đặt các câu hỏi thắc mắc để cộng đồng HOC247 có thể giải đáp sớm nhất.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Khái niệm phương trình tương đương
|
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. - Nếu phương trình f(x)=0 tương đương với phương trình g(x)= 0 thì ta viết f(x)=0 \( \Leftrightarrow \) g(x)=0. |
Chú ý. Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.
1.2. Phương trình sin x =m
|
- Phương trình sin x = m có nghiệm khi và chỉ khi |m| ≤ 1. - Khi |m| ≤ 1, sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn sin \(\alpha \) = m. Khi đó sin x = m \( \Leftrightarrow \) sinx = sin\(\alpha \) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. (k\in Z)\). |
Chú ý
- Nếu số đo của góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì
| \(\begin{array}{l} \sin x = \sin \alpha \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ \begin{array}{l} x = {\alpha ^0} + k{360^0}\\ x = 180 ^0 - {\alpha ^0} + k{360^0} \end{array} \right.(k \in Z) \end{array}\) |
- Một số trường hợp đặc biệt.
|
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,(k \in Z)\\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,(k \in Z)\\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,(k \in Z)\) |
1.3. Phương trình cos x = m
|
- Phương trình cos x = m có nghiệm khi và chỉ khi |m| ≤ 1. - Khi lm| ≤ 1, sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;{\pi }} \right]\) thoả mãn cos \(\alpha \) = m. Khi đó cos x = m \( \Leftrightarrow \) cos x = cos \(\alpha \) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right. (k\in Z)\). |
Chú ý
- Nếu số đo của góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì
| \(\begin{array}{l} \cos x = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ \begin{array}{l} x = {\alpha ^0} + k{360^0}\\ x = -{\alpha ^0} + k{360^0} \end{array} \right.(k \in Z) \end{array}\) |
- Một số trường hợp đặc biệt.
|
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,(k \in Z)\\ \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,(k \in Z)\\ \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = {\pi } + k2\pi ,(k \in Z)\) |
1.4. Phương trình tan x = m
|
- Phương trình tan x = m có nghiệm với mọi m. - Với mọi \(m\in R\), sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {-{\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) thoả mãn tan \(\alpha \) = m. Khi đó tan x = m \( \Leftrightarrow \) tan x = tan \(\alpha \) \( \Leftrightarrow \) \(x = \alpha + k\pi \quad (k\in Z)\). |
Chú ý
- Nếu số đo của góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì
| \( \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow {\rm{ }} x = {\alpha ^0} + k{180^0}(k \in Z) \) |
1.5. Phương trình cot x = m
|
- Phương trình cot x = m có nghiệm với m. - Với mọi \(m\in R\), sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;{\pi }} \right)\) thoả mãn cot \(\alpha \) = m. Khi đó cot x = m \( \Leftrightarrow \) cot x = cot \(\alpha \) \( \Leftrightarrow \) \(x = \alpha + k\pi \quad (k\in Z)\). |
Chú ý
- Nếu số đo của góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì
| \( \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{ }} x = {\alpha ^0} + k{180^0}(k \in Z) \) |
1.6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Bài tập minh họa
Câu 1: Giải phương trình \(\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0\).
A. \(x=k\pi \text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
B. \(x=\frac{2\pi }{3}+\frac{k3\pi }{2}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
C. \(x=\frac{\pi }{3}+k\pi \text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
D. \(x=\frac{\pi }{2}+\frac{k3\pi }{2}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
Hướng dẫn giải
Phương trình \(\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0\Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \)
\(\Leftrightarrow \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{k3\pi }{2}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
Chọn D.
Câu 2: Giải phương trình \(\cot \left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}.\)
A. \(x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
B. \(x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
C. \(x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
D. \(x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{6}+k\pi \text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(\cot \left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}\Leftrightarrow \cot \left( 3x-1 \right)=\cot \left( -\frac{\pi }{6} \right)\)
\(\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\ \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right)\\ \xrightarrow{k=1}x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi }{18}.\)
Chọn A.
Luyện tập Bài 4 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản bằng cách vận dụng đồ thị hàm số lượng giác tương ứng.
- Tính nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay. Giải phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản. Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình lượng giác.
3.1. Trắc nghiệm Bài 4 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 1 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
Câu 1:
Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A. \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{{\rm{\pi }}}{2} + k2{\rm{\pi }}\)
- B. \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k{\rm{\pi }}\)
- C. \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2{\rm{\pi }}\)
- D. \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + k2{\rm{\pi }}\)
-
- A. m = -3
- B. m = -2
- C. m = 0
- D. m = 3
-
- A. |m|≤4
- B. |m|≥4
- C. m≤−4
- D. m≥4
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 4 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 1 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Mở đầu trang 31 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 1 trang 31 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 32 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 34 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 35 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng trang 35 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 5 trang 37 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 5 trang 37 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 6 trang 38 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 1.20 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 1.21 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 1.22 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải Bài 1.23 trang 39 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Bài tập 1.25 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 1.26 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 1.27 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 1.28 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 1.29 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 1.30 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT
Hỏi đáp Bài 4 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
