Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Cho góc hình học uOv = 45°. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong mỗi trường hợp sau:

Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là 30° và 45°.

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để

sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.

Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo 240° và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo – 270°. Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 360°; – 450°;

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3π; \( - \frac{{11\pi }}{5}\).

Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu?

b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo α rad.

Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm, bánh xe trước có đường kính là 92 cm, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.

a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.

b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).

c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1; 0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

a) Xác định điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = $\frac{5\pi }{4}$.

b) Xác định điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = $-\frac{7\pi }{4}$.

Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng \( - \frac{{15\pi }}{4}\) và 420°.

Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác sinα,cosα,tanα,cotα$$ của góc α, với $0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$đã học ở lớp 10.

Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{5\pi }{6}$

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: $\cos \frac{3\pi }{7};\tan (-{37}^{\circ }{25}^{\prime })$

b) Đổi ${179}^{\circ }{23}^{\prime }{30}^{″}$sang rađian;

c) Đổi 7/9(rad) sang độ.

a) Dựa vào định nghĩa của sin α  và cos α, hãy tính sin² α + cos² α.

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của tan α, hãy tính 1 + tan² α.

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết cosα$=-\frac{2}{3}$ và \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa cos(−α) và cosα; sin(−α) và sinα.

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: tan(−α) và tanα; cot(−α) và cotα.

Tính:  

a) $\sin (-{675}^{\circ })$    

b) \(\tan \frac{{15\pi }}{4}\)

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức: \(B(t) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi t}}{{12}}\).

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng              

b) 10 giờ 30 phút sáng;         

c) 12 giờ trưa             

d) 8 giờ tối

Hoàn thành bảng sau:

Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) $\frac{\pi }{12}$;

b) 1,5;

c) 35°;

d) 315°.

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{2\pi }{3}$;          b)$-\frac{11\pi }{4}$;       

c) ${150}^0$;          d)$-{225}^0$.

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) cos α = $\frac{1}{5}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$;

b) sin α = $\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

c) tan α = $\sqrt{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$;

d) cot α = $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$. 

Chứng minh các đẳng thức:

a) ${\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$;                

b) $\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }={\tan }^2\alpha$.

Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

Hoàn thành bảng sau:

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) \(\frac{\pi }{6}\);

b) \(\frac{{ - 5\pi }}{7}\);

c) \({270^0}\);

d) \( - {415^0}\).

Một đường tròn có bán kính 20m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là:

a) \(\frac{{2\pi }}{7}\);

b) \({36^0}\).

Cho \(\cos x = - \frac{5}{{13}}\,\,({90^o} < x < {180^o})\). Tính các giá trị lượng giác còn lại?

Cho \(\sin a + \cos a = m\). Hãy tính theo m.

a) \(\sin a\cos a\)

b) \({\sin ^3}a + {\cos ^3}a\)

c) \({\sin ^4}a + {\cos ^4}a\).

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 2{\cos ^2}x - 1\);

b) \({\tan ^2}x - {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x\);

c) \({(\sin x + \cos x)^2} + {(\sin x - \cos x)^2} = 2\).

Rút gọn biểu thức \(A = 2{\cos ^4}x - {\sin ^4}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\)?

Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong vòng 1 giây;

b) Tính quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860mm.

Kim giờ dài 6 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?