Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Định lí cosin và định lí sin

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: \(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}\)  Hệ quả \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat C = {115^0},AC = 8\) và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó. 

Giải

Theo định lí côsin, ta có: 

\(\begin{array}{l}
A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\\
 = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.cos{115^0}\\
 \approx 289,14
\end{array}\)

Vậy \(AB \approx \sqrt {289,14}  \approx 7\) 

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Hệ quả \(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\) \(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {72^0},\widehat B = {83^0},BC = 18\). Tính độ dài các cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đỏ.

Giải

Đặt a= BC, b =AC, c =AB

Ta có: \(a = 18,\widehat C = {180^0} - \left( {{{72}^0} + {{83}^0}} \right) = {25^0}\)

Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}
AC = b = \frac{{asinB}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{83}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 18,8\\
AB = c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{25}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 8\\
R = \frac{a}{{2.\sin A}} = \frac{{18}}{{2.\sin {{72}^0}}} \approx 9,5
\end{array}\)

1) \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\)

2) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)

3) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

4) \(S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)

5) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (Công thức Heron)

Ví dụ: Cho tam giác 48C có các cạnh a = 30, b =26, e =28.

a) Tính diện tích tam giác 48C.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bản kinh đường tròn nội tiếp tam giác ⁄48C.

Giải

a) Ta có: \(p = \frac{1}{2}.\left( {30 + 26 + 28} \right) = 42\)

Áp dụng công thức Heron, ta có:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {42\left( {42 - 30} \right)\left( {42 - 26} \right)\left( {42 - 28} \right)}  = 336\)

b) Ta có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\), suy ra \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{30.26.28}}{{4.336}} = 16,25\)

Ta lại có S = pr, Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{336}}{{42}} = 8\) 

Câu 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình sau.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\)

Mà \(AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}\)

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45'\\\widehat C \approx {47^o}15'\end{array} \right.\)

Vậy \(BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45';\widehat C \approx {47^o}15'.\)

Câu 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình sau.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(NP = 22,\;\widehat P = {180^o} - ({112^o} + {34^o}) = {34^o}\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\frac{{MN}}{{\sin P}} = \frac{{MP}}{{\sin N}} = \frac{{NP}}{{\sin M}}\)

Suy ra:

\(MP = \frac{{NP.\sin N}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{112}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} \approx 36,48\)

\(MN = \frac{{NP.\sin P}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{34}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} = 22.\)

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh \(b = 14,c = 35\) và \(\widehat A = {60^o}\)

b) Các cạnh \(a = 4,b = 5,c = 3\)

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\), ta có:

\(S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2\)

b) Ta có: \(p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6\)

Áp dụng công thức Heron, ta có:

\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}  = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)}  = 6.\) 

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Vận dụng đúng định lý cosin và hệ quả để tính các cạnh các góc chưa biết của tam giác.

- Bước đầu biết vận dụng định lí vào thực tiễn.

- Hiểu được định lí biểu thị mối quan hệ giữa các đại lương cạnh và góc trong tam giác, từ đó sẽ tính được yếu tố còn lại khi biết yếu tố kia.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 4 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tam giác ABC có \(AB = 5,BC = 7,CA = 8\). Số đo góc \(\widehat A\) bằng:

  • A. 30° 
  • B. 45° 
  • C. 60° 
  • D. 90° 

• Câu 2:

  Tam giác ABC có \(AB = 2,AC = 1\) và \(\widehat A = {60^0}\). Tính độ dài cạnh BC.

  • A. BC = 1; 
  • B. BC = 2;
  • C. \(BC = \sqrt 2 \)
  • D. \(BC = \sqrt 3 \)

• Câu 3:

  Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh  AB = 9 và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh cạnh BC.

  • A. \(BC = 3 + 3\sqrt 6 ;\)
  • B. \(BC = 3\sqrt 6  - 3;\)
  • C. \(BC = 3\sqrt 7 \)
  • D. \(BC = \frac{{3 + 3\sqrt {33} }}{2}.\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 4 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khởi động trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 1 trang 66 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng 1 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 69 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng 2 trang 69 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 4 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 3 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng 3 trang 72 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 72 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 72 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 72 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 8 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 9 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 10 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 74 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 74 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 8 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 9 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 10 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!