Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=2x^3-mx^2+2x đồng biến trên khoảng (-2;0)

Ta có: \(y' = 6{x^2} - 2mx + 2\).

 Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right).\) 

\(\Leftrightarrow mx \le 3{x^2} + 1,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)

\(\Leftrightarrow m \ge 3x + \frac{1}{x},\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;0} \right)} f\left( x \right)\)

Xét \(f\left( x \right) = 3x + \frac{1}{x}\) với \(x \in \left( { - 2;0} \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( L \right)}\\ {x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \end{array}} \right.\) 

Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \frac{{ - 13}}{2}\) và \(f\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = - 2\sqrt 3\) 

Vậy  \(m \ge - 2\sqrt 3\)