Tìm m để hàm số y=(4/2017)^(e^(3x)-(m-1)e^x+1) đồng biến trên khoảng (1;2)

Ta có \(y'=\left [ \left ( \frac{4}{2017} \right ) ^{3x-(m-1)e^x+1}\right ]'= \ln \frac{4}{{2017}}.{\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x - (m - 1){e^x} + 1}}}}.\left[ {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x}} \right]\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' > 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x} < 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 3{e^{2x}} + 1 = f(x)}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right.\)

Xét hàm số  \(f(x) = 3{e^{2x}} + 1\)

Có \(f'(x) = 6{e^{2x}} > 0,\forall x \in (1;2)\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi \(m \ge 3{e^4} + 1.\)