Tìm giá trị lớn nhất M của P=2^(sin^2(x))+2^(cos^2(x))

Ta có: \(P = {2^{{{\sin }^2}x}} + {2^{1 - {{\sin }^2}x}} = {2^{{{\sin }^2}x}} + \frac{2}{{{2^{{{\sin }^2}x}}}}\)

Đặt: \(t = {2^{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow P = t + \frac{2}{t}\)

\(\Rightarrow P'(t) = 1 - \frac{2}{{{t^2}}} \Rightarrow P'(t) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{{t^2}}} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \sqrt 2 }\\ {t = - \sqrt 2 \;(loai)} \end{array}} \right.\)

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P(1) = 3}\\ {P(2) = 3}\\ {P(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow MaxP = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0}\\ {t = 2 \Leftrightarrow \cos x = 0} \end{array}} \right.\)