Cho hàm số (y = left| {frac{{{x^4} + ax + a}}{{x + 1}}} ight|).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + ax + a}}{{x + 1}}\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^4} + 4{x^3}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) 

Do đó \(f\left( 1 \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 2 \right),\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) hay \(a + \frac{1}{2} \le f\left( x \right) \le a + \frac{{16}}{3},\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Ta xét các trường hợp sau:

TH1: Nếu \(a + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow a >  - \frac{1}{2}\) thì \(M = a + \frac{{16}}{3};m = a + \frac{1}{2}\) 

Theo đề bài \(a + \frac{{16}}{3} \ge 2\left( {a + \frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow a \le \frac{{13}}{3}\) 

Do a nguyên nên \(a \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

TH2: Nếu \(a + \frac{{16}}{3} < 0 \Leftrightarrow a <  - \frac{{16}}{3}\) thì \(m =  - \left( {a + \frac{{16}}{3}} \right);M =  - \left( {a + \frac{1}{2}} \right)\) 

Theo đề bài \( - \left( {a + \frac{1}{2}} \right) \ge  - 2\left( {a + \frac{{16}}{3}} \right) \Leftrightarrow a \ge  - \frac{{61}}{6}\) 

Do a nguyên nên \(a \in \left\{ { - 10; - 9;...; - 6} \right\}\).

TH3: Nếu \(a + \frac{1}{2} \le 0 \le a + \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow  - \frac{{16}}{3} \le a \le  - \frac{1}{2}\) thì \(M \ge 0;m = 0\) (Luôn thỏa mãn)

Do a nguyên nên \(a \in \left\{ { - 5; - 4;...; - 1} \right\}\) 

Vậy có 15 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.