Cho hàm số (fleft( x ight) = left{ egin{array}{l}a{x^2} + bx + 1,x ge 0\ax - b - 1,x < 0end{array} ight.).

Ta có f(0) = 1.

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + bx + 1} \right) = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {ax - b - 1} \right) =  - b - 1
\end{array}\).

Để hàm số có đạo hàm tại x₀ = 0 thì hàm số phải liên tục tại x₀​ = 0 nên

\(f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\). Suy ra \( - b - 1 = 1 \Leftrightarrow b =  - 2\).

Khi đó:  \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
a{x^2} - 2x + 1,x \ge 0\\
ax + 1,x < 0
\end{array} \right.\) 

Xét:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a{x^2} - 2x + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax - 2} \right) =  - 2\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ax + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( a \right) = a\).

Hàm số có đạo hàm tại x₀ = 0 thì a = -2.

Vậy với a = -2; b = -2 thì hàm số có đạo hàm tại x₀ = 0 khi đó T = -6.