-
Câu hỏi:
Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b). Trên a lấy điểm M (khác A), trên b lấy điểm N (khác B) sao cho AM = x,BN = y,x + y = 8. Biết AB = 6, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 60°. Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn MN (trong trường hợp MN > 8).
- A. \(2\sqrt {21} \)
- B. 12
- C. \(2\sqrt {39} \)
- D. 13
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Dựng hình chữ nhật ABNC.
\(\left( {\widehat {AM,BN}} \right) = \left( {\widehat {AM,AC}} \right) = 60^\circ \)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot BN
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACM} \right)\)\({V_{ABNM}} = {V_{MABC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{ACM}} = \frac{1}{6}AB.AC.AM\sin \widehat {CAM} = \frac{1}{6}.6.x.y.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy\)
\({V_{ABNM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = 8\sqrt 3 \). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4.
Khi đó AM = BN = AC = 4
Lại có \(AB//CN \Rightarrow CN \bot \left( {AMC} \right) \Rightarrow CN \bot CM \Rightarrow M{N^2} = C{M^2} + C{N^2}\)
Mặt khác \(\widehat {MAC} = 60^\circ \) hoặc \(\widehat {MAC} = 120^\circ \)
Trường hợp 1: \(\widehat {MAC} = 60^\circ \Rightarrow \) \(\Delta AMC\) đều \( \Rightarrow CM = 4 \Rightarrow MN = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13} \)
Trường hợp 2: \(\widehat {MAC} = 120^\circ \)
\( \Rightarrow CM = \sqrt {A{M^2} + A{C^2} - 2AM.AC\cos 120^\circ } = \sqrt {48} \Rightarrow MN = \sqrt {48 + {6^2}} = 2\sqrt {41} \)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Tập xác định của hàm số y = tanx là:
- Nghiệm của phương trình (cos left( {x + frac{pi }{4}} ight) = frac{{sqrt 2 }}{2}) là
- Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát là un = 3n - 2. Tìm công sai d của cấp số cộng.
- Dãy số giới hạn 0
- Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng.
- Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó (a ot left( P ight)). Chọn mệnh đề sai.
- Cho hàm số y = x3 - 3x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [a; b].
- Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 3x - 4 có bao nhiêu điểm cực trị?
- GTNN của hàm số y = x^3 - 3x + 5 trên đoạn [2; 4] là:
- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{x - 3}}{{x - 1}}) là đường thẳng có phương trình?
- Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số sau
- Khối đa diện đều có 12 mặt có số cạnh
- Cho tứ diện MNPQ. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ.
- Cho tập (A = left{ {0;2;4;6;8} ight}); (B = left{ {3;4;5;6;7} ight}). Tập A B là
- Phương trình (cos 2x + 4sin x + 5 = 0) có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0; 10pi)
- Một tổ công nhân có 12 người. Cần chọn 3 người để đi làm cùng một nhiệm vụ, hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của ({left( {2 - 3x} ight)^{10}})
- Cho cấp số nhân (un) có u1 = -3, công bội q = -2. Hỏi -192 là số hạng thứ mấy của (un) ?
- Phát biểu nào sau đây là sai?
- Tính đạo hàm của hàm số (y = an left( {frac{pi }{4} - x} ight)):
- Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0.
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
- Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°.
- Cho hàm số (y = frac{{x + 1}}{{2 - x}}). Khẳng định nào sau đây đúng?
- Cho hàm số (y = frac{{x + m}}{{x + 1}}) (m là tham số thực) thỏa mãn (mathop {min }limits_{left[ {0;1} ight]} y = 3).
- Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}{ m{ }}left( C ight)), đồ thị (C) có bao nhiêu đường tiệm cận?
- Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A, B, C, D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD.
- Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, (AA = frac{{3a}}{2}).
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết (Aleft( {1;3} ight),Bleft( { - 2; - 2} ight),Cleft( {3;1} ight)).
- Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình (4sin x + left( {m - 4} ight)cos x - 2m + 5 = 0) có nghiệm là:
- Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số (y = frac{{sin x + 2cos x + 1}}{{sin x + cos x + 2}}) là
- Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách.Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
- Cho hàm số (fleft( x ight) = left{ egin{array}{l}a{x^2} + bx + 1,x ge 0\ax - b - 1,x < 0end{array} ight.).
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, (AB = a,BC = asqrt 3 ,SA = a) và SA vuông góc với đáy ABCD.
- Cho hàm số (y = frac{{mx + 2}}{{2x + m}}), m là tham số thực.
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ.
- Đồ thị hàm số (y = frac{{5x + 1 - sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}}) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
- Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
- Biết n là số nguyên dương thỏa mãn ({x^n} = {a_0} + {a_1}left( {x - 2} ight) + {a_2}{left( {x - 2} ight)^2} + ...
- Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 2AB, đường thẳng AC có phương trình (x + 2y + 2 = 0,
- Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi.
- Cho hàm số (y = left| {frac{{{x^4} + ax + a}}{{x + 1}}} ight|).
- Cho hàm số (y = {x^3} - 3x + 2{ m{ }}left( C ight)).
- Cho hàm số bậc ba (fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:Hỏi đồ thị h�
- Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b).
- Cho tập hợp (A = left{ {1;2;3;4;...;100} ight}).
- Biết m là giá trị để hệ bất phương trình (left{ egin{array}{l}0 < x + y le 1\x + y + sqrt {2xy + m} ge 1end{arra
- Cho phương trình:({sin ^3}x + 2sin x + 3 = left( {2{{cos }^3}x + m} ight)sqrt {2{{cos }^3}x + m - 2} + 2{cos ^3}x + {cos ^2}x
