YOMEDIA
NONE

Bài tập 6.4 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2

Giải bài 6.4 tr 59 sách BT Toán lớp 9 Tập 2

Cho phương trình

\(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2\)\(\, = 0\;\displaystyle (m \ne {1 \over 2}).\)

a) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm \(x_1,x_2\), hãy tính tổng \(S\) và tích \(P\) của hai nghiệm theo \(m.\)

c) Tìm hệ thức giữa \(S\) và \(P\) sao cho trong hệ thức này không có \(m.\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

Hướng dẫn giải

Sử dụng:

- Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\).

- Hệ thức Vi-ét:

Nếu \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.\)

Lời giải chi tiết

Phương trình: \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 \)\(\,= 0\;(m \ne\displaystyle {1 \over 2})\)             (1)

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta '  \ge 0\)

\( \Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 4} \right)} \right]^2} \)\(\,- \left( {2m - 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \) 

\(= {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m \)\(\,+ 2 \)

\(= - 9m^2 + 9m + 18 \)

\(= - 9\left( {{m^2} - m - 2} \right) \)

\(=-9(m^2-2m+m-2)\)

\(=-9[m(m-2)+m-2]\)

\(= - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \)

\( \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0  \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr 
{m + 1 \le 0} \cr} } \right.\)  hoặc \(\left\{ {\matrix{{m - 2 \le 0} \cr {m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\)

TH1:

\(\left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr 
{m + 1 \le 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ge 2} \cr 
{m \le - 1} \cr} } \right.} \right.\) vô nghiệm

TH2:

\(\left\{ {\matrix{
{m - 2 \le 0} \cr 
{m + 1 \ge 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \le 2} \cr 
{m \ge - 1} \cr} } \right.} \right.\) \(\Leftrightarrow - 1 \le m \le 2\)

Vậy \(-1 ≤ m ≤ 2\) thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\displaystyle {x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m - 1}};\) \(\displaystyle{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}\)

c) Theo câu b ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 4} \right)}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{5m + 2}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m + 8}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}.2m - \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1 + 9}}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}\left( {2m - 1} \right) + \dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1}}{{2m - 1}} + \dfrac{9}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} + \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2}.\dfrac{1}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}\\
2{x_1}{x_2} = 5 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) \\= 5 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}} - \left( {1 + 9.\dfrac{1}{{2m - 1}}} \right)\\
\Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4
\end{array}\) 

Vậy \(  2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4  \) là biểu thức không phụ thuộc vào \(m\) cần tìm.

-- Mod Toán 9 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 6.4 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF