Nguyễn Minh Hiếu's Profile

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

(AB/CD)+(CD/AB)+(BC/AD)+(AD/BC) ≤ (IA/IC)+(IC/IA)+(IB/ID)+(ID/IB)

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC ( I không nằm trên cạnh của tam giác). Các tia AI; BI; CI lần lượt cắt BC; CA; AB tại M; N; P.
a) Chứng minh: (AI/AM) + (BI/BM) + (CI/CM) = 2
b) Chứng minh: (1/AM.BN) + (1/BN.CP) + (1/CP.AM) ≤ (4/(3(R−OI)2))

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy+yz+zx=1

Chứng minh rằng: 3((1/(x^2)+1)+(1/(y^2)+1)+(1/(z^2)+1))+((x^2)+1)((y^2)+1)((z^2)+1)≥(985/108)

Tìm số nguyên tố p, biết rằng phương trình x^2 +px-12p=0  có hai nghiệm đều là những số nguyên.

Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định . Điểm I là giao điểm của 3 đường phân giác trong. Tìm tập hợp các điểm I khi A di động , góc BIC bằng bao nhiêu 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó. Các điểm  A’,  B’, C’ lần lượt là giao điểm củ AI, BI, CI với (O). Trên cung AC của (O) không chứa đỉnh B, lấy điểm D bất kì. Gọi E là giao điểm của DC’ với AA’. Gọi F là giao điểm của DA’ với CC’. Chứng minh rằng:

1. Điểm I là trực tâm của tam giác A’B’C’
2. Tứ giác DEIF nội tiếp 1 đường tròn
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Cho a, b, c >0 thỏa mãn: abc=ab+bc+ca. Chứng minh:

1/a+2b+3c  +  1/b+2c+3a  +  1/c+2a+3b =<3/16