Hình học 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp


Ta luôn vẽ được một đường tròn đi qua ba điểm bất kì, nhưng đối với một tứ giác thì không thể. Tuy nhiên có một số tứ giác lại vẽ được như vậy và những tứ giác có bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn thì sẽ được gọi là gì? Chúng có tính chất ra sao? Chúng ta cùng tìm hiểu bài Tứ giác nội tiếp

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khái niệm

Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay tứ giác nội tiếp)

Chẳng hạn, tứ giác \(ABCD\) có bốn đỉnh \(A,B,C,D\) cùng nằm trên một đường tròn nên \(ABCD\) được gọi là tứ giác nội tiếp.

1.2. Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800

\(ABCD\) là tứ giác nội tiếp nên ta có \(\widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{B}+\widehat{D}=180^0\)

1.3. Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

Cụ thể ở hình trên, nếu có \(\widehat{A}+\widehat{C}=180^0\) hoặc \(\widehat{B}+\widehat{D}=180^0\) thì tứ giác \(ABCD\) nội tiếp được đường tròn.

Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Tính số đo các góc của tứ giác \(ABCD\)

Hướng dẫn: 

Do \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp nên ta có \(\widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{B}+\widehat{D}=180^0\)

Vì \(\widehat{B}=85^0\) nên \(\widehat{D}=180^0-85^0=95^0\)

Ta có \(\widehat{A}+\widehat{C}=180^0\Leftrightarrow 2x+x=180^0\Leftrightarrow x=60^0\)

Từ đó suy ra \(\widehat{A}=2.60^0=120^0,\widehat{C}=60^0\)

Bài 2: Tính số đo các góc của tứ giác \(ABCD\), biết rằng \(\widehat{DCx}=130^0\)

Hướng dẫn: 

Ta có \(\widehat{DCB}=180^0-\widehat{DCx}=180^0-130^0=50^0\), suy ra \(\widehat{DAB}=180^0-\widehat{DCB}=180^0-50^0=130^0\)

Lại có \(\widehat{DCx}\) là góc ngoài của \(\bigtriangleup ECB\) nên \(\widehat{DCx}=\widehat{E}+\widehat{B}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{DCx}-\widehat{E}=130^0-30^0=100^0\)

Từ đó suy ra \(\widehat{ADC}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-100^0=80^0\)

Bài 3: Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O;R)\) có \(AB=8cm,AC=15cm\), đường cao \(AH=5cm\) (H nằm ngoài cạnh BC). Tính bán kính của đường tròn

Hướng dẫn: 

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp nên \(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\)

Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(ACD\) có \(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\) nên \(\bigtriangleup AHB\sim\bigtriangleup ACD\) (g.g)

suy ra \(\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{AD}\Rightarrow AD=\frac{AB.AC}{AH}=\frac{8.15}{5}=24\Rightarrow R=\frac{AD}{2}=12\)(cm)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Dựa vào hình vẽ, tính các góc của tứ giác \(ABCD\)

Hướng dẫn:

Đặt \(\widehat{ABC}=x,\widehat{ADC}=y (x,y>0)\) thì ta có \(x+y=180\) (1)

Ta có \(\widehat{ABC}=40^0+\widehat{BAF}\) và \(\widehat{ADC}=30^0+\widehat{DAF}\)

suy ra \(\widehat{ABC}-\widehat{ADC}=10^0\) (vì \(\widehat{BAF}=\widehat{DAF}\)) hay \(x-y=10\)(2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) suy ra \(x=95,y=85\) hay \(\widehat{ABC}=95^0,\widehat{ADC}=85^0\)

Lại có \(\widehat{DAB}=\widehat{F}+\widehat{ABF}=125^0\Rightarrow \widehat{BCD}=180^0-125^0=55^0\)

Bài 2: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,(AB

a) \(CI\) là phân giác của \(\widehat{BCD}\)

b) \(DA\) là tiếp tuyến của \((O)\).

Hướng dẫn: 

a) Ta có \(\widehat{IDC}=90^0\) (góc nội tiếp chắn đường kính)

Nên \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0\) suy ra tứ giác \(ABCD\) nội tiếp 

do đó \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\) mà theo đề bài \(\widehat{ABD}=\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ACD}=\widehat{ACB}\) hay \(CI\) là phân giác của \(\widehat{BCD}\) (đpcm)

b) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ACB}\) mà \(\widehat{ACD}=\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ACD}\)

Từ đó suy ra \(DA\) là tiếp tuyến của \((O)\).

3. Luyện tập Bài 7 Chương 3 Hình học 9

Qua bài giảng Tứ giác nội tiếp này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

  • Nắm vững định nghĩa, một số tính chất của tứ giác nội tiếp
  • Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết

3.1 Trắc nghiệm về Tứ giác nội tiếp

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 7 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK về Tứ giác nội tiếp

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 53 trang 89 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 54 trang 89 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 55 trang 89 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 56 trang 89 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 57 trang 89 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 58 trang 90 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 59 trang 90 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 60 trang 90 SGK Toán 9 Tập 2

4. Hỏi đáp Bài 7 Chương 3 Hình học 9

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

  • Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

    (AB/CD)+(CD/AB)+(BC/AD)+(AD/BC) ≤ (IA/IC)+(IC/IA)+(IB/ID)+(ID/IB)

    Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC ( I không nằm trên cạnh của tam giác). Các tia AI; BI; CI lần lượt cắt BC; CA; AB tại M; N; P.
    a) Chứng minh: (AI/AM) + (BI/BM) + (CI/CM) 2
    b) Chứng minh: (1/AM.BN) + (1/BN.CP) + (1/CP.AM) ≤ (4/(3(ROI)2))

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm M sao cho OM > 2R. Kẻ dây AC của (O) vuông góc với OM tại H, MB cắt đường tròn (O) và AC lần lượt tại D và T.

    1. Chứng minh: MC là tiếp tuyến và tứ giác MAOC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn.
    2. Đường tròn (I) cắt MB tại E (E khác M). Chứng minh OE // AD.
    3. Chứng minh TD.TB = TM.TE.
    Theo dõi (1) 1 Trả lời
  • Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Tia AH cắt BC tại F.

    1. Chứng minh: HB.HD = HC.HE và AF vuông góc BC.
    2. Gọi M là trung điểm của CH. Chứng minh tứ giác OMEF là tứ giác nội tiếp.
    3. DF cắt CE tại N. Qua N vẽ đường thẳng vuông góc với CE cắt BC và BD lần lượt tại I và K. Chứng minh N là trung điểm của IK.
    Theo dõi (2) 1 Trả lời

-- Mod Toán Học 9 HỌC247