Bài tập 7.2 tr 107 sách BT Toán lớp 9 Tập 2
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và hai dây \(AB,\) \(CD\) bất kì. Gọi \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB.\) Gọi \(E\) và \(F\) tương ứng là giao điểm của \(MC,\) \(MD\) với dây \(AB.\) Gọi \(I\) và \(J\) tương ứng là giao điểm của \(DE,\) \(CF\) với đường tròn \((O).\) Chứng minh \(IJ\) song song với \(AB.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Hướng dẫn giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^\circ\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \((O)\) có \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(\overparen{AB}\).
Suy ra \(\overparen{MA}\) = \(\overparen{MB}\)
Lại có: \(\widehat {AEC} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB}\)) (góc có đỉnh ở trong đường tròn)
\(\widehat {CDM} = \displaystyle {1 \over 2} sđ\overparen{MAC}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {CDF} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{MA} + sđ\overparen{AC})\)\(=\displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB})\)
Suy ra: \(\widehat {AEC} = \widehat {CDF}\)
Ta có: \(\widehat {AEC} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {CDF} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ \) nên tứ giác \(CDFE\) nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFE}\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{CE}\)) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CFE}\)
Trong đường tròn \((O)\) ta có:
\(\widehat {CDI} = \widehat {CJI}\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{CAI}\))
Suy ra: \(\widehat {CJI} = \widehat {CFE}\)
\( \Rightarrow IJ // AB\) (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
-- Mod Toán 9 HỌC247
-
Chứng minh ECF là tam giác cân biết từ điểm C kẻ đường thẳng vuông góc với AE
bởi Bundesliga Cuong
18/03/2018
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây cung MN vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Trên tia NM lấy điểm K nằm ngoài đường tròn ( M nằm giữa N và K), AK cắt đường tròn tại C, CB cắt MN tại D. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác ACDI nội tiếp đường tròn. Xác định đường kính và tâm của đường tròn đó.
b/ AB.DI = AC.BD
c/ AD cắt đường tròn tại E. Từ điểm C kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt EI tại F. Chứng minh ECF là tam giác cân.
Theo dõi (1) 1 Trả lời -
Chứng minh điểm I là trực tâm của tam giác A’B’C’ biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
bởi Nguyễn Minh Hiếu
07/03/2018
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm củ AI, BI, CI với (O). Trên cung AC của (O) không chứa đỉnh B, lấy điểm D bất kì. Gọi E là giao điểm của DC’ với AA’. Gọi F là giao điểm của DA’ với CC’. Chứng minh rằng:
- Điểm I là trực tâm của tam giác A’B’C’
- Tứ giác DEIF nội tiếp 1 đường tròn
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Theo dõi (0) 0 Trả lời -
Chứng minh tam giác EKB cân biết tam giác ABC cân, nội tiếp đường tròn (O)
bởi Nguyễn Quỳnh Anh
08/01/2018
Giúp em bào này với ạ
.jpg)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh HI là phân giác của góc AHC biết tam giác ABC có AB < AC, nội tiếp (O)
bởi Đỗ Quang Duy
14/12/2017
Cho tam giác ABC có AB < AC, nội tiếp (O) có BC là đường kính. Kẻ đường cao AH của (O)
a) Cho AB = 6, AC = 8. Tính AH và BH
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại M và N. CMR: MN = MB + NC và góc MON = 90o
c) Trên cạnh AC lấy E sao cho AB = AE. Gọi I là trung điểm BE. CMR: M, I, O thẳng hàng
d) CMR: HI là phân giác của góc AHC
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tứ giác AEBF là hình gì biết đường tròn (O) có đường kính AB cố định, đường kính EF thay đổi ?
bởi Nguyễn Quỳnh Anh
10/12/2017
Giúp em bài này với ạ
.jpg)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh 4 điểm A,H,C,N thuộc cùng một dường tròn biết tam giác ABC vuông tại A
bởi Đỗ Quang Duy
27/11/2017
Cho tam giác vuông tại A (AB
a) Chứng minh 4 điểm A,H,C,N thuộc cùng một dường tròn, đường kính AC
b) Chứng minh BM+CN=BC
c) Chứng minh M,A,N thẳng hàng
d) Nối MC cắt ( A;AH) tại P (P≠M). Chứng minh góc PKC = góc AMC
Theo dõi (1) 3 Trả lời -
Tính gần đúng với 2 chữ số thập phân độ dài BC biết CI = 6,8 cm, AB = 5,6 cm
bởi Trần Nguyện
16/07/2017
Cho DBCE cân tại B có đường cao CA. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong
của DABC. Biết CI = 6,8 cm ; AB = 5,6 cm
- Tính gần đúng với 2 chữ số thập phân độ dài BC.
- Tính góc CBE (độ,phút,giây).
- Tính gần đúng với 2 chữ số thập phân độ dài BI.
- Tính gần đúng với 2 chữ số thập phân bán kính đường tròn nội tiếp DABC.
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Xác định vị trí của M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất biết tam giác ABC đều nội tiếp (O)
bởi Vân Phiên Phiên
31/05/2017
Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O), H là trung điểm BC, M bất kì thuộc đoạn thẳng Bh (Mkhacs B). Lấy N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN = BM. Gọi I là trung điểm MN
a, CMR: O,M,H,I thuộc 1 đường tròn
b, Gọi P là giao điểm của OI và AB. CMR tam giác MNP đều
c, Xác định vị trí của M để Tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
Theo dõi (0) 3 Trả lời
