Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Lý thuyết5 Trắc nghiệm13 BT SGK 174 FAQ

Trong bài trước chúng ta đã được tìm hiểu khái niệm về phương trình bậc hai, có phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, đôi khi vô nghiệm. Vậy có các công thức nào để tính các nghiệm ấy không?

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức nghiệm

1.2. Áp dụng

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

2.2. Bài tập nâng cao

3. Luyện tập Bài 4 Chương 4 Đại số 9

3.1 Trắc nghiệm về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

3.2 Bài tập SGK về Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

4. Hỏi đáp Bài 4 Chương 4 Đại số 9

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức nghiệm

Ta có phương trình tổng quát: \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\)

Chuyển hạng tử c sang vế phải, ta có: \(ax^2+bx=-c\)

Vì \(a\neq 0\) nên chia cả hai vế cho a, ta có: \(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)

Biến đổi để thành hằng đẳng thức: \(x^2+2.\frac{1}{2}\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=-\frac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

Đặt \(\Delta =b^2-4ac\)

Ta có các kết luận sau đây:

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):

\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)

\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.

1.2. Áp dụng

Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Giải phương trình: \(x^2+5x-15=0\)

Giải: Dễ dàng xác định được hệ số của phương trình trên là: \(a=1;b=5;c=-15\)

Tính \(\Delta =b^2-4ac=5^2-4.1.(-15)=85>0\)

Vậy phương trình trên có các nghiệm là: \(x_{1}=\frac{-5+\sqrt{85}}{2}\); \(x_{2}=\frac{-5-\sqrt{85}}{2}\)

Ví dụ 2:

Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

\(9x^2+6x+1=0\)

Giải: Ta có: \(\Delta =6^2-4.9.1=0\)

Vậy phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất.

Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Không giải phương trình, hãy cho biết số nghiệm của phương trình sau:

\(x^2+5x-34=0\); \(2x^2-3x+15=0\)

Hướng dẫn:\(x^2+5x-34=0\)

\(\Delta =5^2-4.1(-34)=161>0\)

Vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt

Tương tự đối với phương trình: \(2x^2-3x+15=0\)

\(\Delta =(-3)^2-4.2.15=-111<0\)

Vậy phương trình trên vô nghiệm

Bài 2: Giải phương trình: \(x^2+14x+49=0\); \(x^2-2x-5=0\)

Hướng dẫn: \(x^2+14x+49=0\)

Giải: \(\Delta =14^2-4.1.49=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-14}{2}=-7\)

\(x^2-2x-5=0\)

Giải: \(\Delta =(-2)^2-4.1.(-5)=24\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{6}>0\)

\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-2)+2\sqrt{6}}{2}=1+\sqrt{6};x_{2}=\frac{-(-2)-2\sqrt{6}}{2}=1-\sqrt{6}\)

Bài 3: Giải phương trình bằng 2 cách: \(x^2+8x+18=0\)

Hướng dẫn: Cách 1 dùng biệt thức \(\Delta \Rightarrow \Delta <0\Rightarrow\)phương trình vô nghiệm

Cách 2: Biến đổi \(x^2+8x+18=(x+4)^2+2> 0\Rightarrow\)phương trình vô nghiệm

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho phương trình: \(-x^2+2x+2017^{2017}=0\). Không giải phương trình , hãy cho biết phương trình trên có bao nhiêu nghiệm.

Hướng dẫn: Ta có, \(\Delta =b^2-4ac\).

Nhận thấy \(b^2>0\); \(ac=-2017^{2017}<0\Rightarrow 4ac>0\)

Vậy \(\Delta >0\forall x\epsilon \mathbb{R}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 2: Tương tự câu trên, cho phương trình: \(x^2+2x-2018^{2018}=0\). Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình trên có bao nhiêu nghiệm. Kết hợp bài 1 và 2 phần nâng cao, các bạn có nhận xét gì?

Hướng dẫn: Tương tự câu trên, ta cũng suy ra được phương trình \(x^2+2x-2018^{2018}=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: với a, c trái dấu, phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt!