Bài tập 4.4 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\;(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\):

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\).

Lời giải chi tiết

Phương trình \(a{x^2} - bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c = 0\) vô nghiệm

\(\eqalign{
& \Rightarrow \Delta = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4ac < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} < 4ac \cr 
& \Leftrightarrow 4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

Suy ra: \(f\left( x \right) - x = a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c\)

\(\eqalign{
& = a\left( {{x^2} + {{b - 1} \over a}x + {c \over a}} \right) \cr 
& = a\left[ {{x^2} + 2.{{b - 1} \over a}x + {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} - {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} + {c \over a}} \right] \cr 
& = a\left[ {{{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)}^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}}} \right] \cr} \)

Vì \({\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \Rightarrow f\left( x \right) - x\) luôn cùng dấu với a.

Nếu a > 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > x\) với mọi x.

Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x\) với mọi x.

Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

Nếu a < 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x\) với mọi x

Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x\) với mọi x.

Vậy không có giá trị nào của x để  \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)

Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) vô nghiệm.

-- Mod Toán 9 HỌC247