Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức \(h = 550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t\) (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải một trong các phương trình có dạng: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m, trong đó x là ẩn số, m là số thực cho trước. Các phương trình đó là các phương trình lượng giác cơ bản.

Cho hai phương trình (với cùng ẩn x): \({x^2}\; - 3x + 2 = 0\)  (1) và \((x - 1)(x - 2) = 0\) (2).

a) Tìm tập nghiệm S1 của phương trình (1) và tập nghiệm S2 của phương trình (2).

b) Hai tập S1, S2 có bằng nhau hay không?

Hai phương trình \(x - 1 = 0\) và \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = 0\) có tương đương không? Vì sao?

Khẳng định \(3x - 6 = 0 \Leftrightarrow 3x = 6\) đúng hay sai?

Giải phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2}\; = 5x-11.\)

a) Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm A0, B0­ (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm A0, B0­.

b) Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm A1, B1­ (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm A1, B1­.

a) Giải phương trình: \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

b) Tìm góc lượng giác x sao cho \(\sin x = \sin 55^\circ \).

Giải phương trình \(\sin x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

a) Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\)$\frac{\mathrm{}}{}$ cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm C0, D0­ (Hình 35). Tìm hoành độ của hai giao điểm C0, D0­.

b) Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm C1, D1­ (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm C1, D1­.

a) Giải phương trình: \(\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\).

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cosx = cos(‒87°).

Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.

Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 (Hình 36).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = 1 trên khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)$\left(\frac{\mathrm{}}{}\right)$, hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình tanx = 1?

a) Giải phương trình: tanx = 0.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho tanx = tan67°.

Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 (Hình 37).

a) Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = ‒1 trên khoảng (0; π), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b) Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình cotx = ‒1?

a) Giải phương trình: cotx = 1.

b) Tìm góc lượng giác x sao cho cotx = cot(‒83°).

Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn):

a) \(\sin x = 0,2\);

b) \(\cos x = \frac{{ - 1}}{5}\);

c) \(\tan x = \sqrt 2 \).

Giải phương trình:

a) \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\)

c) \(\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

d) \(2\cos 3x + 5 = 3\)

e) \(3\tan x = - \sqrt 3 \)

g) \(\cot x - 3 = \sqrt 3 \left( {1 - \cot x} \right)\)

Giải phương trình:

a) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\)

b) \(\sin 2x = \cos 3x\)

c) \({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

a) \(3\sin x + 2 = 0\) trên đoạn \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\)

b) \(\cos x = 0\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\)

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ \(40^\circ \) Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:\(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\, \,\,0 < t \le 365\)

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ảnh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 39). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với \(t \ge 0\)) bởi hệ thức \(h = \left| d \right|\) với \(d = 3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\), trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại. Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3m; 0m?

Phương trình \(\sin x = 1\) có các nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = \pi + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Số nghiệm của phương trình \(\sin x = 0,3\) trên khoảng \(\left( {0;4\pi } \right)\) là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

Phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) có các nghiệm là:

A. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Giá trị của \(m\) để phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là:

A. \(0 \le m < 1\)

B. \(0 \le m \le 1\)

C. \(0 < m \le 1\)

D. \(0 < m < 1\)

Phương trình \(\tan x = - 1\) có các nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương trình \(\cot x = 0\) có các nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương trình \(\sin x - \cos x = 0\) có các nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương trình \(\sqrt 3 \cos x + 3\sin x = 0\) có các nghiệm là:

A. \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương trình \(\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có các nghiệm là:

A. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Phương trình \(\sin 3x = \cos x\) có các nghiệm là:

A. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}}\\{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}}\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{8} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}}\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}}\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Giải phương trình:

a) \(\sin 3x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

c) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\)

d) \(2\cos x + \sqrt 3 = 0\)

e) \(\sqrt 3 \tan x - 1 = 0\)

Tìm góc lượng giác \(x\) sao cho:

a) \(\sin 2x = \sin {42^o}\)

b) \(\sin \left( {x - {{60}^o}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

c) \(\cos \left( {x + {{50}^o}} \right) = \frac{1}{2}\)

d) \(\cos 2x = \cos \left( {3x + {{10}^o}} \right)\)

e) \(\tan x = \tan {25^o}\)

g) \(\cot x = \cot \left( { - {{32}^o}} \right)\)

Giải phương trình:

a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

b) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

c*) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

d*) \({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

e) \(\cos x + \sin x = 0\)

g) \(\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\)

Dùng đồ thị hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) để xác định số nghiệm của phương trình:

a) \(5\sin x - 3 = 0\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;4\pi } \right]\)

b) \(\sqrt 2 \cos x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - 4\pi ;0} \right)\)

Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thuỷ triều lên cao và sau 12 giờ khi thuỷ triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở hình bên mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước \(h\) (m) theo thời gian \(t\)(h) \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức \(h = m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với \(m\), \(a\) là các số thực dương cho trước.

a) Tìm \(m\), \(a\).

b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.