Giải Bài 7.7 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

HS sử dụng định nghĩa và tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\) và \(DA\).

Khi đó, \(SO\) là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và đi qua trung điểm \(O\) của đường chéo \(AC\) của hình chữ nhật.

Vì \(SA \perp (ABCD)\), nên \(SA \perp (ABCD)\), \(SA // SO\). Do đó, \(SAOM\) là hình bình hành. Vì \(OM \perp SB\), nên \(AM \perp SB\).

Tương tự, ta chứng minh được \(AN \perp SD\).

Ta có \(SM // ND\) vì \(SM\) và \(ND\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\) và đi qua cùng một điểm \(A\). Vậy, \(\widehat{ AMN} = \widehat{ BMS} = \widehat{ SBC}\).

Như vậy, \(AM \perp (SBC)\).

Tương tự, ta chứng minh được \(AN \perp (SCD)\).

Cuối cùng, ta chứng minh được \(SC\perp (AMN)\) như sau:

Vì \(AM\) vuông góc với \(SB\) nên \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((SAB)\).

Tương tự, \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((SCD)\).

Do đó, \(SC\) là đường vuông góc chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\), suy ra \(SC\perp (AMN)\).

-- Mod Toán 11 HỌC247