Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7

a) Tam thức bậc hai

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi thay x bằng giá trị x0 vào ƒ(x), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x0.

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói f(x) đương tại x0;

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói f(x) âm tại x0;

+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi đó

+ Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức \(\Delta  = {b^2} - 4{\rm{a}}c\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

b) Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Chú ý

a) Để xét dâu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tỉnh và xác định đâu của biệt thức \(\Delta \);

Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a,

Bước 4: Xác định dâu của ƒ(x)

b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \(\Delta '\) thay cho biệt thức \(\Delta\).

- Bất phương trình bậc lai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0\) với \(a \ne 0\).

- Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bắt đẳng thúc đúng.

- Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bât phương trình đó.

- Ta có thể giải bắt phương trình bậc hai bằng cách xét dâu của tam thức bậc hai tương ứng.

b) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)

Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\)

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Câu 1: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)         

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\)

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta  = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng

 \(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 8 < 0\) và \(a =  - 1 < 0\)

Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(15{x^2} + 7x - 2 \le 0\)

b) \( - 2{x^2} + x - 3 < 0\)

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 15{x^2} + 7x - 2\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{2}{3};{x_2} = \frac{1}{5}\)

và có \(a = 15 > 0\) nên \(f\left( x \right) \le 0\) khi x thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(15{x^2} + 7x - 2 \le 0\) là \(\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)

b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + x - 3\) có \(\Delta  =  - 23 < 0\) và \(a =  - 2 < 0\)

nên \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình \( - 2{x^2} + x - 3 < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

Câu 3: Giải phương trình \(\sqrt {31{x^2} - 58x + 1}  = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {31{x^2} - 58x + 1}  = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \\ \Rightarrow 31{x^2} - 58x + 1 = 10{x^2} - 11x - 19\\ \Rightarrow 21{x^2} - 47x + 20 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = \frac{5}{3}\) hoặc \(x = \frac{4}{7}\)

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 4: Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41}  = 2x + 3\)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

\(3{x^2} + 27x - 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}\)

\( \Rightarrow 3{x^2} + 27x - 41 = 4{x^2} + 12x + 9\)

\( \Rightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0\)

\( \Rightarrow x = 5\) và \(x = 10\)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41}  = 2x + 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\) và \(x = 10\)

Qua bài giảng này giúp các em học sinh:

- Ôn tập và hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của chương.

- Áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập một cách dễ dàng.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}-x+1}\) là 

  • A. \(x\le 1\) 
  • B. \(x\ge -3\) 
  • C. \(x\ne 1\) 
  • D. Phương trình xác định với mọi x ∈ R.

• Câu 2:

  Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{2 x+3}{x-3}=\frac{24}{x^{2}-9}+\frac{2(x+5)}{x+3}\) là 

  • A. \(x \neq \pm 3\)
  • B. \(x \neq 3\) 
  • C. \(x \neq - 3\) 
  • D. \(x\ge 3\)

• Câu 3:

  Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là

  • A. 2
  • B. -1
  • C. -2
  • D. 4

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Giải bài 1 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 8 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 9 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 19 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 19 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 19 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 19 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 20 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 20 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 20 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 8 trang 20 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 9 trang 20 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 10 trang 20 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 11 trang 21 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 12 trang 21 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 21 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 21 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 21 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 22 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 22 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 22 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 22 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 8 trang 22 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 9 trang 23 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 10 trang 23 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!