Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi thay x bằng giá trị x₀ vào ƒ(x), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x₀.

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói f(x) đương tại x₀;

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói f(x) âm tại x_0;

+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi đó

+ Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức \(\Delta  = {b^2} - 4{\rm{a}}c\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét đâu của nó tại x=2

\(\begin{array}{l}
a)f(x) =  - {x^2} + x + 3\\
b)g(x) =  - 3x + \frac{{13}}{2}
\end{array}\)

Giải

a) Biểu thức \(f(x) =  - {x^2} + x + 3\) là một tam thức bậc hai.

\(f(2) =  - {2^2} + 2 + 3 = 1 > 0\) nên f(x) đương tại x= 2.

b) Biểu thức \(g(x) =  - 3x + \frac{{13}}{2}\) không phải lả một tam thức bậc hai

Chú ý

a) Để xét dâu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tỉnh và xác định đâu của biệt thức \(\Delta \);

Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a,

Bước 4: Xác định dâu của ƒ(x)

b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \(\Delta '\) thay cho biệt thức \(\Delta\).

Ví dụ

Xét dẫu của tam thức bậc hai sau: \(f(x) =  - {x^2} + 3{\rm{x}} + 10\)

Giải

\(f(x) =  - {x^2} + 3{\rm{x}} + 10\) \(\Delta \) = 49 > 0, hai nghiệm phân biệt là x₁ = -2, x₂ = 5 và a = - 1 < 0

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong khoảng (-2; 5) và âm trong hai khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).

Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại \(x = 1\).

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\);

b) \(g\left( x \right) =  - {x^4} + 2{x^2} + 1\)

c) \(h\left( x \right) =  - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\)

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai

\(f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 1 - 1 = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) dương tại \(x = 1\)

b) Biểu thức \(g\left( x \right) =  - {x^4} + 2{x^2} + 1\) không phải là một tam thức bậc hai

c) Biểu thức \(h\left( x \right) =  - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\) là một tam thức bậc hai

\(h\left( 1 \right) =  - {1^2} + \sqrt 2 .1 - 3 = \sqrt 2  - 4 < 0\) nên \(h\left( x \right)\) âm tại \(x = 1\)

Câu 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)         

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\)

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta  = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng

 \(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 8 < 0\) và \(a =  - 1 < 0\)

Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Hiểu được khái niệm tam thức bậc hai.

- Hiểu được định lý về dấu của tam thức bậc hai .

- Cách xét dấu của tam thức bậc hai.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta  = {b^2} - 4ac < 0\). Khi đó mệnh đề nào đúng?

  • A. f(x) > 0, ∀x ∈ R. 
  • B. f(x) < 0, ∀x ∈ R. 
  • C. f(x) không đổi dấu.
  • D. Tồn tại x để f(x) = 0.

• Câu 2:

  Chọn câu đúng. Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - 4\sqrt 2 } \right)x - 3\sqrt 2 + 6\)

  • A. Dương với mọi \(x \in R\).
  • B. Dương với mọi \(x \in \left( { - 3;\sqrt 2 } \right)\).
  • C. Dương với mọi \(x \in \left( { - 4;\sqrt 2 } \right)\).
  • D. Âm với mọi \(x \in R\).

• Câu 3:

  Số giá trị nguyên của x để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là

  • A. 3
  • B. 4
  • C. 5
  • D. 6

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 6 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 2 trang 7 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 8 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 8 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 8 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 9 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 10 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 8 trang 10 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!