Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Chú ý: Ta quy ước \(k\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) nếu \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) hoặc k = 0.

Trong hình cho sau, hai trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G.

Ta có \(\overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow {GM} ,\overrightarrow {MN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Nhận xét: Vectơ \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k \ge 0\), ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) và k < 0.

Ví dụ: Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \). 

Giải

Thật vậy, nếu \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \) thi \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương. Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.

Ta lấy \(k = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và lấy \(k = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.

Khi đó \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \).

Nhận xét: 

- Điểm I là trung của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Chú ý: Cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) (Hình bên dưới). Khi đó, mọi vectơ \(\overrightarrow u \) đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) nghĩa là có duy nhất cặp số (x;y) sao cho \(\overrightarrow u  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b \). 

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI} \)

Giải

Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) 

Do đó \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {OI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {OI} \) 

Câu 1: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số \(0;\;1;\;\sqrt 2 ;\; - \sqrt 2 \). Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) với vecto \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OA} \). Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \).

Hướng dẫn giải

Dễ thấy:

Vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)có cùng giá nên chúng cùng phương.

Mà vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều

Vậy vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng hướng.

Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)

Ta kết luận \(\overrightarrow {OM}  = \sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).

Câu 2: Hãy chỉ ra hai vecto \(3\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u  + 3\overrightarrow v \). Từ đó, nêu mối quan hệ giữa \(3\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u  + 3\overrightarrow v \)

Hướng dẫn giải

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OE}  + \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OM} \) hay \(\overrightarrow v  + \overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \)

Và \(\overrightarrow {OC}  = 3.\overrightarrow {OM}  \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3.\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {OA}  = 3.\overrightarrow {OF}  = 3\;\overrightarrow u ;\;\overrightarrow {OB}  = 3.\overrightarrow {OE}  = 3\;\overrightarrow v \)

Và \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OC} \) hay \(3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u  = \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow u } \right) = 3\;\overrightarrow v  + 3\;\overrightarrow u \)

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

 - Nêu được định nghĩa và tính chất của tích vectơ với một số.

 - Nêu được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và tính chất trọng tâm của tam giác.

 - Xác định được vectơ khi cho trước số thực k và vectơ .

 - Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để giải bài toán đơn giản.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 9 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Chọn phát biểu sai?

  • A. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {BC} ,\,k \ne 0\)
  • B. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {BC} ,\,k \ne 0\)
  • C. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} ,\,k \ne 0\) 
  • D. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \) 

• Câu 2:

  Cho vectơ \(\vec b \ne \vec 0,\vec a =  - 2\vec b,\vec c = \vec a + \vec b\). Khẳng định nào sau đây sai?

  • A. Hai vec tơ \(\vec b,\vec c\) bằng nhau.
  • B. Hai vec tơ \(\vec b,\vec c\) ngược hướng.
  • C. Hai vec tơ \(\vec b,\vec c\) cùng phương.
  • D. Hai vec tơ \(\vec b,\vec c\)$\stackrel{}{}$ đối nhau.

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Khi đó \(\overrightarrow {GA}  = \)?

  • A. \(2\overrightarrow {GM} \) 
  • B. \(\frac{2}{3}\overrightarrow {GM} \) 
  • C. \( - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \) 
  • D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 9 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Câu hỏi trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Câu hỏi trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.11 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.12 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.13 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.14 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.15 trang 59 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!