Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Trên mặt phẳng, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vectơ đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Oxy. Điểm O gọi là gốc toa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (Hình sau).

Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ.

Ví dụ: Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) tương ứng của các trục Ox, Oy.

Giải

Vì \(\overrightarrow i  = 1\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow i\) có toạ độ là (1; 0)
Vì \(\overrightarrow j  = 0\overrightarrow i  + 1\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow j\) có toa độ là (0; 1).

Nhận xét: Vectơ \(\overrightarrow v \left( {x';y'} \right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right) \ne \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x' = kx, y' = ky (hay \(\frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\) nếu \(x,y \ne 0\)

Nhận xét: Với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right)\) ta lấy điểm M(x; y) thì \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \). Do đó, \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Chẳng hạn, vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\) có độ dài là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt 5 \) 

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1;~2), B(3; 2), C(7: 4). 

a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \). So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.

b) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm D(x; y) đề ABCD là một hinh thoi.

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;2 - ( - 2)} \right) = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {7 - 3;4 - 2} \right) = \left( {4;2} \right)\)

Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là:

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 ;BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 \)

Do đó các khoảng cách này bằng nhau.

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;{\rm{ }}4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4;{\rm{ }}2} \right)\) không cùng phương (vì \(\frac{2}{4} \ne \frac{4}{2}\)). Do đó các điềm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng. 

c) Các điểm A, B, C không thằng hàng và BA = BC nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow {BC} \). 

Do \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \left( {x - 1;y + 2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 4\\
y + 2 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là D(5; 0). 

Chú ý: 

+ Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)

+ Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\) 

Câu 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i \) (Hình cho bên dưới). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số \( - \frac{3}{2}\). Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) theo vectơ \(\overrightarrow i \).

Hướng dẫn giải

Dễ thấy:

vectơ \(\overrightarrow {OM} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 4 = 4\left| {\overrightarrow i } \right|\)

Do đó: \(\overrightarrow {OM}  = 4\,.\,\overrightarrow i \)

Tương tự, vectơ \(\overrightarrow {ON} \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\left| {\overrightarrow i } \right|\)

Do đó: \(\overrightarrow {ON}  =  - \frac{3}{2}\,.\,\overrightarrow i \)

Câu 2: 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u  = (2; - 3),\;\overrightarrow v  = (4;1),\;\overrightarrow a  = (8; - 12)\)

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \)

b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u \)

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow u  = (2; - 3)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow v  = (4;1),\;\overrightarrow a  = (8; - 12)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = 4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j ;\;\;\overrightarrow a  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow v  = 4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j \end{array} \right.\)(theo câu a)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = \left( {2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\;\overrightarrow i  + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u  = 4\left( {2.\;\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = \left( {2.\;\overrightarrow i  + 4.\;\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j  + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u  = 4.2.\;\overrightarrow i  + 4.\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v  = 6.\;\overrightarrow i  + \left( { - 2} \right).\;\overrightarrow j \\4.\;\overrightarrow u  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}\)

c) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}4.\;\overrightarrow u  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow a  = 8.\;\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\) nên ta suy ra \(4.\;\overrightarrow u  = \overrightarrow a \)

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Nhận biết toạ độ của vectơ và thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ.

- Thể hiện mối quan hệ giữa các vectơ thông qua toa độ của chúng.

- Ứng dụng của toạ độ vectơ trong bài toán xác định vị trí của vật trên mặt phăng toạ độ.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 10 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hai điểm  A (1 ; 0) và  B (0 ; − 2). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

  • A. \(\left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\) 
  • B. \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\) 
  • C. \(\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\) 
  • D. \(\left( {1; - 1} \right)\) 

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ là A (−2; 2); B (3; 5). Tọa độ của đỉnh C là:

  • A. (1; 7). 
  • B. (−1; −7). 
  • C. (−3; −5). 
  • D. (2; −2). 

• Câu 3:

  Trong mặt phẳng Oxy, cho B (5; −4), C (3; 7). Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là: 

  • A.  E (1; 18). 
  • B. E (7; 15). 
  • C. E (7; −1). 
  • D. E (7; −15). 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 10 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 60 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 1 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 3 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 4 trang 62 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Hoạt động 5 trang 62 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Luyện tập 2 trang 63 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Vận dụng trang 64 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.16 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.18 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.22 trang 58 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.23 trang 58 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.24 trang 58 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.25 trang 59 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.26 trang 59 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.27 trang 59 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Giải bài 4.28 trang 59 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!