Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Cho vecto $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a$. Hãy xác định điểm C sao cho $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow a$

a) Tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow a  + \overrightarrow a$

b) Vecto $\overrightarrow a  + \overrightarrow a$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto $\overrightarrow a$

$1\;\overrightarrow a$ và $\overrightarrow a$ có bằng nhau hay không?

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số $0;\;1;\;\sqrt 2 ;\; - \sqrt 2$. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON}$ với vecto $\overrightarrow a  = \overrightarrow {OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow {OM}$ và $\overrightarrow {OA}$.

$- \;\overrightarrow a$ và $- 1\;\overrightarrow a$ có mối quan hệ gì?

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\overrightarrow {AM}  = t.\overrightarrow {AB}$

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có $\overrightarrow {AM}  = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB}$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số $t \le 0$ để $\overrightarrow {AM}  = t.\overrightarrow {AB}$

Với $\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k\left( {t\overrightarrow u } \right)$ và $\left( {kt} \right)\overrightarrow u$ có cùng độ dài bằng $\left| {kt} \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|$

b) Nếu $kt \ge 0$ thì cả hai vecto $k\left( {t\overrightarrow u } \right)$, $\left( {kt} \right)\overrightarrow u$ cùng hướng với $\overrightarrow u$

c) Nếu $kt < 0$ thì cả hai vecto $k\left( {t\overrightarrow u } \right)$, $\left( {kt} \right)\overrightarrow u$ ngược hướng với $\overrightarrow u$

d) Hai vecto $k\left( {t\overrightarrow u } \right)$ và $\left( {kt} \right)\overrightarrow u$ bằng nhau.

Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto $3\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)$ và $3\overrightarrow u  + 3\overrightarrow v$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)$ và $3\overrightarrow u  + 3\overrightarrow v$

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có

$\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG}$.

Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ theo hai vecto $\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b$, tức là tìm các số $x,y,z,t$ để $\overrightarrow u  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b ,\;\overrightarrow v  = t\overrightarrow a  + z\overrightarrow b .$.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị $\overrightarrow {AM}$  theo hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh $\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {MN}  = \;\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .$ 

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .$

Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM}$

Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}}$ như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}}$ biết $\overrightarrow {{F_1}}$ có độ lớn là 20N.

Cho tam giác $ABC.$ Gọi $D,\,\,E$ tương ứng là trung điểm của $BC,\,\,CA.$ Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {CA}$ theo các vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BE} .$

Cho tam giác $OAB$ vuông cân, với $OA = OB = a.$ Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB} .$

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,$ trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O.$

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OM} .$

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .$

c) Chứng minh rằng ba điểm $G,\,\,H,\,\,O$ cùng thuộc một đường thẳng.

Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,\,\,N$ theo thứ tự là trung điểm của cạnh $AB,\,\,CD$ và gọi $I$ là trung điểm của $MN.$ Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kì đều có

$\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OI} .$

Cho lục giác $ABCDEF.$ Gọi $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,\;\,BC,\,\,CD,\,\,DE,\,\,EF,\,\,FA.$ Chứng minh rằng hai tam giác $MPR$ và $NQS$ có cùng trọng tâm.

Cho tam giác $ABC$ đều có trọng tâm $O.$ $M$ là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi $D,\,\,E,\,\,F$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC,\,\,CA,\,\,AB.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .$

Cho tam giác $ABC.$

a) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

b) Xác định điểm $N$ thỏa mãn $4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0$

Cho tam giác $ABC.$

a) Tìm điểm $K$ thỏa mãn $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0$

b) Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|$

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực $\overrightarrow P$ cuẩ vật và lực đẩy Archimedes $\overrightarrow F$ mà chất lỏng tác động lên vật. Tìm tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.