Toán 10 Cánh Diều Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \({\vec 0}\). Từ một điểm A tuỳ ý, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow v \) (Hình cho bên dưới). Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay đơn giản là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

Chú ý: 

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow 0 \) có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^0}\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) vuông góc với nhau, kí hiệu là \({\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v }\) hoặc \({\overrightarrow v  \bot \overrightarrow u }\). Đặc biệt \(\overrightarrow 0 \) được coi là vuông góc với mọi vectơ.

\(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow u .\overrightarrow u \) còn được viết là \({\overrightarrow u ^2}\). Ta có \({\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.cos{0^0} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\) 

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \) 

Giải

Vì \(\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = {90^0}\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\).

Hình vuông có cạnh bằng a nên có đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \) 

Mặt khác, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0},\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) = {135^0}\), do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.cos{45^0} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B{\rm{D}}}  = AB.B{\rm{D}}.cos{135^0} = a.a\sqrt 2 .\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) =  - {a^2}\) 

Nhận xét

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v  - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC. TÍnh cạnh AB theo hai cạnh còn lại và góc C

Giải

Ta có: \(A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right)^2} = {\overrightarrow {CB} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} - 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  = {\overrightarrow {CB} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} - 2CB.CA.\cos C\)

hay \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2.b.c.\cos C\)

a) Tính độ dài của đoạn thẳng

- Với hai điểm A, 8 phân biệt, ta có: \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\).

- Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: \(\overrightarrow {AB}  = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}} \). 

b) Chứng mỉnh hai đường thẳng vuông góc

- Cho hai vectơ bất kì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b .\)

- Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\).

- Cũng như vậy, hai đường đường thẳng a và b vuông góc khi và chỉ khi \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0\), trong đó \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow v  \ne \overrightarrow 0 \), giá của vectơ \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với đường thẳng a và giá của vectơ \(\overrightarrow v \) song song hoặc trùng với đường thẳng b. 

Câu 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA} \)

b) \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} \)

Hướng dẫn giải

a) Vẽ vecto \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB} \). Ta có:

\((\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} ) = (\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA} ) = \widehat {DBA} = {120^o}\)

Vậy \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA}  = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} ) = a.a.\cos {120^o} = {a^2}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{{{a^2}}}{2}.\)

b) Vì \(AH \bot BC\) nên \((\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = {90^o}\), suy ra \(\cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = \cos {90^o} = 0.\)

Vậy \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = 0.\)

Câu 2: Chứng minh rằng với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), ta có:

\(\begin{array}{l}{(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\\{(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\\(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\end{array}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}{ + \, (\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = (\overrightarrow a  + \overrightarrow b )(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\ = \overrightarrow a .(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) + \overrightarrow b .(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow a  + {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}.\\  + \, {(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} =(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )\\ = \overrightarrow a .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) - \overrightarrow b .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b  - \overrightarrow b .\overrightarrow a  + {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}. \\ + \, (\overrightarrow a  - \overrightarrow b )(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= \overrightarrow a .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) + \overrightarrow b .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow a  - {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}.\end{array}\)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Biết tính tích vô hướng của hai vectơ, các tính chất của tích vô hướng và biểu thức toạ độ của tích vô hướng.

- Tính được độ dài của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm.

- Vận dụng công thức tính vô hướng để tính vào bài tập cụ thể.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

  • A. \(\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}=0\) 
  • B. \((\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{H A})=150^{\circ}\) 
  • C. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\frac{a^{2}}{2}\) 
  • D. \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C B}=-\frac{a^{2}}{2}\) 

• Câu 2:

  Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

  • A. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} a^{2}\)
  • B. \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C B}=-\frac{1}{2} a^{2}\)
  • C. \(\overrightarrow{G A} \cdot \overrightarrow{G B}=\frac{a^{2}}{6}\)
  • D. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A G}=\frac{1}{2} a^{2}\) 

• Câu 3:

  Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}\). 

  • A. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=a^{2}\)
  • B. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}\) 
  • C. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=-\frac{a^{2}}{2}\) 
  • D. \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\frac{a^{2}}{2}\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Luyện tập 1 trang 93 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 95 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 96 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 96 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 97 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 98 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 98 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 98 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 98 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 98 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 98 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 98 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 57 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 58 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 59 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 60 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 61 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 62 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 64 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 65 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 66 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!