Toán 10 Cánh Diều Bài 5: Tích của một số với một vectơ

+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \)

Ví dụ: Cho B là trung điểm của đoạn thảng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {CA}  = k\overrightarrow {CB} \)

b) \(\overrightarrow {CA}  = k\overrightarrow {AB} \) 

Giải

Ta có: \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) là hai vectơ cùng phương và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {CA}  = 2\overrightarrow {CB} \). Vậy k = 2

b) Ta có: \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vectơ ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|{\rm{ }}\)

Suy ra: \(\overrightarrow {CA}  =  - 2\overrightarrow {AB} \). Vậy k = -2

Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:

\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}\)

Ví dụ: Thực hiện các phép toán vecto sau:

\(\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right)\\
d)\overrightarrow c  - 2\overrightarrow c 
\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right) = 5\overrightarrow u  + 5\overrightarrow v \\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a  = x\overrightarrow a  + 2\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right) = \left( { - 3.4} \right)\overrightarrow e  =  - 12\overrightarrow e \\
d)\overrightarrow c  - 2\overrightarrow c  = \left( {1 - 2} \right)\overrightarrow c  = \left( { - 1} \right)\overrightarrow c  =  - \overrightarrow c 
\end{array}\)

- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \) với điểm M bất kì.

- Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MG} \) với điểm M bất kì.

* Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng.

- Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \)) cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \). 

- Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \). 

Ví dụ: Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \frac{2}{3}AB\). Kẻ MH // OB, MK // OA (Hình sau).

Giả sử \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \).

a) Biểu thị \(\overrightarrow {OH}\) theo \(\overrightarrow {a}\) và \(\overrightarrow {OK}\) theo \(\overrightarrow {b}\).

b) Biểu thị \(\overrightarrow {OM}\) theo \(\overrightarrow {a}\) và \(\overrightarrow {b}\).

Giải

a) Ta có: MH // OB, MK // OA suy ra

\(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3},\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Vì \(\overrightarrow {OH}\) và \(\overrightarrow {OA}\) cùng hướng và \(OH = \frac{1}{3}OA\) nên

\(\overrightarrow {OH}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow a \)

Vì \(\overrightarrow {OK}\) và \(\overrightarrow {OB}\) cùng hướng và \(OK = \frac{2}{3}OB\) nên

\(\overrightarrow {OK}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {OB}  = \frac{2}{3}\overrightarrow b \)

b) Vì tứ giác OHMK là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow a  + \frac{2}{3}\overrightarrow b \). 

Câu 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh \(3\left( {\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} \)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(3\left( {\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = 3\overrightarrow {AB}  + 3.\left( {2\overrightarrow {BC} } \right) - \left[ {2\overrightarrow {AB}  + 2.\left( {3\overrightarrow {BC} } \right)} \right]\)

\( = 3\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC}  - \left( {2\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = 3\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {AB}  - 6.\overrightarrow {BC} \)

\( = \left( {3\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {6.\overrightarrow {BC}  - 6.\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\)

Câu 2: Ở hình sau, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {AC}  = k.\overrightarrow {AD} \)

b) \(\overrightarrow {BD}  = k.\overrightarrow {DC} \)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \)là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{3}{4}\left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\) Vậy \(k = \frac{3}{4}.\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {DC} \)là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {DC} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {BD}  =  - 3\overrightarrow {DC} .\) Vậy \(k =  - 3.\)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Nêu được định nghĩa và tính chất của tích vectơ với một số.

- Nêu được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và tính chất trọng tâm của tam giác.

- Xác định được vectơ khi cho trước số thực k và vectơ .

- Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để giải bài toán đơn giản.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho \(\Delta \)ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho \(2 C I=3 B I\) và J là điểm trên tia đối của BC sao cho \(5 J B=2 J C\). Tính \(\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}\) theo \(\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{A C}\). 

  • A. \(\overrightarrow{A I}=\frac{3}{5} \vec{a}+\frac{2}{5} \vec{b}, \overrightarrow{A J}=\frac{5}{3} \vec{a}-\frac{2}{3} \vec{b}\) 
  • B. \(\overrightarrow{A I}=\frac{3}{5} \vec{a}-\frac{2}{5} \vec{b}, \overrightarrow{A J}=\frac{5}{3} a-\frac{2}{3} \vec{b}\) 
  • C. \(\overrightarrow{A I}=\frac{2}{5} \vec{a}+\frac{3}{5} \vec{b}, \overrightarrow{A J}=\frac{5}{3} \vec{a}-\frac{2}{3} \vec{b}\) 
  • D. \(\overrightarrow{A I}=\frac{3}{5} \vec{a}+\frac{2}{5} \vec{b}, \overrightarrow{A J}=\frac{5}{3} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}\) 

• Câu 2:

  Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho \(A M=\frac{1}{3} A B, C N=\frac{1}{2} C D\) . Gọi G là trọng tâm của \(\Delta B M N\). Hãy phân tích \(\overrightarrow{A G}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}\).

  • A. \(\overrightarrow{A G}=\frac{1}{18} \vec{a}+\frac{5}{3} \vec{b}\) 
  • B. \(\overrightarrow{A G}=\frac{1}{18} \vec{a}+\frac{1}{5} \vec{b}\) 
  • C. \(\overrightarrow{A G}=\frac{5}{18} \vec{a}+\frac{1}{3} \vec{b}\)
  • D. \(\overrightarrow{A G}=\frac{5}{18} \vec{a}-\frac{1}{3} \vec{b}\) 

• Câu 3:

  Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để \(I J / / A E\) ?

  • A. \(\overrightarrow{I J}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A E}\) 
  • B. \(\overrightarrow{I J}=\frac{5}{4} \overrightarrow{A E}\) 
  • C. \(\overrightarrow{I J}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A E}\)
  • D. \(\overrightarrow{I J}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A E}\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 88 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 88 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 89 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 89 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 6 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 47 trang 99 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 48 trang 99 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 49 trang 99 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 50 trang 99 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 51 trang 99 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 52 trang 100 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 53 trang 100 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 54 trang 100 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 56 trang 100 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!