Toán 10 Cánh Diều Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) được kí hiệu là \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \).  Vậy \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Quy tắc ba điểm:

Với 3 điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \)

Quy tắc hình bình hành:

Nếu OABC là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB} \)

- Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tuỳ ý:

• Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \)
• Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)
• Tính chất của vectơ-không: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow a  = \overrightarrow a \) 

Ví dụ: Cho hình Vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD} \). 

Giải

Do \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DB} \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = \sqrt 2 \)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} \) 

Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD} } \right| = AC = \sqrt 2 \) 

- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \) - Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(-\overrightarrow a \). - Vectơ \(\overrightarrow 0 \) được coi là vectơ đối của chính nó. - Vectơ \(\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow b } \right)\) được gọi là hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và được kí hiệu là \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b \). Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý: 

- Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng \(\overrightarrow 0 \).

- Nếu \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow a \) thì \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c  + \overrightarrow b  + \left( { - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow c \)

- Với ba điểm O, M, N tuỷ ý, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {ON}  = \left( { - \overrightarrow {OM} } \right) + \overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM} \)

- Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM} \)

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD cóI, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của IJ. Chứng minh \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \)

Giải

Do I, J, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và Ị nên:

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {JD} } \right)\\
 = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right)\\
 = \overrightarrow 0 
\end{array}\)

Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

Hướng dẫn giải

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

\( \Rightarrow MN = \frac{{AB}}{2} = PB\) và MN // PB.

\( \Rightarrow \overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN} \) (do N là trung điểm của AC)

Vậy \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

Câu 2: Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vecto \(\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} \).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NC} \) là hai vecto đối nhau (do N là trung điểm của BC)

\( \Rightarrow \overrightarrow {NC}  =  - \overrightarrow {NB} \)

Do đó: \(\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM} \)(tính chất giáo hoán)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \;|\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} |\, = \;|\overrightarrow {NM} | = NM.\)

Vì: M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.\)

Vậy \(\;|\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} |\, = \frac{a}{2}.\)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

 - Nắm được cách dựng vectơ tổng của hai vectơ theo định nghĩa và theo quy tắc hình bình hành.

 - Nắm các tính chất của phép cộng vectơ , liên hệ với phép cộng hai số thực.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right|\) bằng:

  • A. \(a\sqrt 3 \)
  • B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
  • C. 2a
  • D. Một đáp án khác.

• Câu 2:

  Cho M; N; P lần lượt là trung điểm các cạnh AB; BC; CA của tam giác ABC Hỏi vectơ \(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NP} \) bằng vectơ nào?

  • A. \(\overrightarrow {AP} \)
  • B. \(\overrightarrow {PB} \)
  • C. \(\overrightarrow {MN} \)
  • D. \(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {NB} \)

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC, với M; N ; P lần lượt là trung điểm của BC; CA; AB. Khẳng định nào sau đây sai?

  • A. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  = 0\)
  • B. \(\overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = 0\)
  • C. \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {PM}  = 0\)
  • D. \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  =- \overrightarrow {MP} \)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 83 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 83 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 84 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 84 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 84 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 85 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 85 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 9 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 32 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 33 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 34 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 35 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 36 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 37 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 38 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 39 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 40 trang 92 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 41 trang 93 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 42 trang 93 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 43 trang 93 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 44 trang 93 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 45 trang 93 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 46 trang 93 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!