Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

+ Đáp án A:

Ta có góc \((\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}) \text { là góc } \hat{A} \text { nên }(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=60^{\circ}\)

Do đó: \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=A B \cdot A C \cdot \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=a \cdot a \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{a^{2}}{2}\) vậy A đúng.

+Đáp án B:

góc \((\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B})\) là góc ngoài của \(\hat C\)c nên \((\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B})=120^{\circ}\)

Do đó \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C B}=A C \cdot C B \cdot \cos (\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B})=a \cdot a \cdot \cos 120^{\circ}=-\frac{a^{2}}{2}\) nên B đúng.

+Đáp án C:

\((\overrightarrow{G A}, \overrightarrow{G B}) \text { là góc } \widehat{A G B} \text { nên }(\overrightarrow{G A}, \overrightarrow{G B})=120^{\circ}\) 

Do đó \(\overrightarrow{G A} \cdot \overrightarrow{G B}=G A \cdot G B \cdot \cos (\overrightarrow{G A}, \overrightarrow{G B})=\frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \cos 120^{\circ}=-\frac{a^{2}}{6}\) nên C sai.

+ Đáp án D:

Góc \((\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A G}) \text { là góc } \widehat{G A B} \text { nên }(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A G})=30^{\circ}\)

Do đó \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A G}=A B \cdot A G \cdot \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A G})=a \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{a^{2}}{2}\) nên D đúng.