Toán 10 Cánh Diều Bài 2: Giải tam giác

Một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong những dữ kiện sau:

- Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó:

- Biết độ dài ba cạnh;

- Biết độ dài một cạnh và độ lớn hai góc kể với cạnh đó.

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 6, BC = 10, CA = 14 (Hình sau). Tính số đo góc B.

Giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}}\\
 = \frac{{{6^2} + {{10}^2} - {{14}^2}}}{{2.6.10}} =  - 0,5
\end{array}\)

Do đó: \(\widehat B = {120^0}\)

Ta có công thức Heron để tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh của nó như sau:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Ví dụ: Mảnh vườn hình tam giác của gia đình bạn Nam có chiểu dài các cạnh là: MN = 20m, NP = 28m, MP = 32m (hình sau). Hỏi diện tích mảnh vườn của gia đình bạn Nam là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?

Giải

Ta có: \(p = \frac{{20 + 28 + 32}}{2} = 40(m)\)

Diện tích mảnh vườn là: 

\(\begin{array}{l}
S = \sqrt {40\left( {40 - 20} \right)\left( {40 - 28} \right)\left( {40 - 32} \right)} \\
 \approx 277,1\left( {{m^2}} \right)
\end{array}\)  

Ví dụ 1: Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Minh đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là 30°. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí ö cách A một khoảng 100 m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là 40°.

Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). 

Giải

Xét tam giác ABC (Hình trên). ta có: \(\widehat C = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{40}^0}} \right) = {110^0}\). 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\)

Do đó: \(AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{100.\sin {{40}^0}}}{{\sin {{110}^0}}} \approx 68,4(m).\)

Xét tam giác vuông AHC, ta có: \(CH = AC.sin30^\circ  \approx 68,4.0,5 \approx 34,2\left( m \right).\) 

Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển khoảng 34,2 m.

Ví dụ 2: Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn núi. Để ước tính chiều đài của đường hàm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo và cho ra kết quả như Hình sau. Tính chiều đài của đường hầm tử các số liệu đã khảo sát được.

Giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

\(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA.CB.\cos C = 388{}^2 + {212^2} - 2.388.212.cos82,{4^0} \approx 173730\).

Suy ra: \(AB \approx \sqrt {173730}  = 417\left( m \right)\) 

Vậy đường hầm dài khoảng 417 m.

Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; \(\widehat B = {60^o}\); \(\widehat C = {45^o}\). Tính diện tích của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {60^o}.\frac{{12}}{{\sin {{45}^o}}} = 6\sqrt 6 \)

Lại có: \(\widehat A = {180^o} - ({60^o} + {45^o}) = {75^o}\)

\( \Rightarrow \)Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.12.6\sqrt 6 .\sin {75^o} \approx 85,2\)

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Câu 2: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) \(a = 17,4;\widehat B = {44^o}30';\widehat C = {64^o}.\)

b) \(a = 10;b = 6;c = 8.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta cần tính góc \(\widehat A\) và hai cạnh \(b,c.\)

Ta có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {44^o}30' - {64^o} = {71^o}30'.\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} = \frac{b}{{\sin {{44}^o}30'}} = \frac{c}{{\sin {{64}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sin {44^o}30'.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 12,86\\c = \sin {64^o}.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 16,5\end{array} \right.\end{array}\)

b) Ta cần tính số đo ba góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 \(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2.6.8}} = 0;\cos B = \frac{{{{10}^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.10.8}} = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^o},\widehat B = {36^o}52'11,63''\\ \Rightarrow \widehat C = {53^o}7'48,37''\end{array}\)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Vận dụng đúng định lý cosin và hệ quả để tính các cạnh các góc chưa biết của tam giác.

- Hiểu được định lí biểu thị mối quan hệ giữa các đại lương cạnh và góc trong tam giác, từ đó sẽ tính được yếu tố còn lại khi biết yếu tố kia.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tam giác ABC có \(AB = 3,AC = 6,{\rm{\;}}\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.

  • A. \({S_{\Delta ABC}} = 9\sqrt 3 \). 
  • B. \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\). 
  • C. \({S_{\Delta ABC}} = 9\). 
  • D. \({S_{\Delta ABC}} = \frac{9}{2}\). 

• Câu 2:

  Tam giác ABC có \(AC = 4,{\rm{\;}}\widehat {BAC} = 30^\circ ,{\rm{\;}}\widehat {ACB} = 75^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.

  • A. \({S_{\Delta ABC}} = 8\) 
  • B. \({S_{\Delta ABC}} = 4\sqrt 3 \) 
  • C. \({S_{\Delta ABC}} = 4\) 
  • D. \({S_{\Delta ABC}} = 8\sqrt 3 \) 

• Câu 3:

  Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 .Diện tích của tam giác ABC bằng:

  • A. \({S_{\Delta ABC}} = 16\) 
  • B. \({S_{\Delta ABC}} = 48\) 
  • C. \({S_{\Delta ABC}} = 24\) 
  • D. \({S_{\Delta ABC}} = 84\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Câu hỏi khởi động trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 74 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 74 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 76 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 12 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 13 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 14 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 15 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 16 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 17 trang 80 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 18 trang 80 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 19 trang 80 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 20 trang 80 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 21 trang 81 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!