Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha {\rm{\;}} \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó: \(\sin \alpha {\rm{\;}} = {y_0}\) là tung độ của M \(\cos \alpha {\rm{\;}} = {x_0}\) là hoành độ của M \(\tan \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {90^o})\) \(\cot \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {0^o},\alpha {\rm{\;}} \ne {180^o})\)

*Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \):

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cos \alpha }\\{\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o})}\\{\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cot \alpha ({0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\) 

Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \):

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha }\\{\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\\{\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\) 

*Các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Ví dụ: Viết giá trị lượng giác của góc \({120^0}\)

Giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin {120^0} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\
cos{120^0} =  - cos{60^0} =  - \frac{1}{2};\\
\tan {120^0} =  - \tan {60^0} =  - \sqrt 3 ;\\
\cot {120^0} =  - \cot {60^0} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
\end{array}\)

Trong tam giác ABC: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C}\end{array}\)

* Hệ quả

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và \(\widehat A = {120^0}\)

a) Tính cos A

b) Tính độ dài cạnh BC

Giải

a) Ta có: \(\cos A = cos{120^0} =  - cos{60^0} =  - \frac{1}{2}\).

b) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2{\rm{A}}B.AC.\cos A.\)

Thay số ta có: \(B{C^2} = {3^2} + {5^2} - 2.3.5.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 49\)

Do đó: \(B{C^2} = \sqrt {49}  = 7\).

Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

* Hệ quả

\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)

\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^0},\widehat B = {45^0}\) và CA = 20. Tính 

a) Sin A

b) Độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoài tiếp tam giác

Giải

a) Ta có: \(\sin A = \sin {120^0} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}
BC = \frac{{CA.\sin {\rm{A}}}}{{\sin B}} = \frac{{20.\sin {{120}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} = 10\sqrt 6 ;\\
R = \frac{{CA}}{{2.\sin B}} = \frac{{20}}{{2.\sin {{45}^0}}} = 10\sqrt 2 .
\end{array}\)

Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC =7. Tính cosA.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà \(AB = c = 5,{\rm{ }}AC = b = 6,{\rm{ }}BC = a = 7\).

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\)

Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc \(\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}.\) Tính độ dài cạnh BC. 

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}.\)

\( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{65}^o} + {{85}^o}} \right) = {30^o}.\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow BC = 2R.\sin A\)

Mà \(\widehat A = {30^o},R = 6.\)

\( \Rightarrow BC = 2.6.\sin {30^o} = 6.\)

Vậy BC = 6.

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Nắm được định nghĩa giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến và giá trị lượng giác của các góc đặc biệt từ đến.

- Hiểu quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

- Hiểu khái niệm góc giữa hai vectơ, nắm được cách xác định góc giữa hai vectơ.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tam giác ABC có \(AB = 5,BC = 7,CA = 8\). Số đo góc \(\hat A\) bằng:

  • A. 30°
  • B. 45°
  • C. 60°
  • D. 90°

• Câu 2:

  Tam giác ABC có \(AB = 2,AC = 1\) và \(\widehat A = {60^0}\). Tính độ dài cạnh BC.

  • A. BC = 1;
  • B. BC = 2;
  • C. \(BC = \sqrt 2 \) 
  • D. \(BC = \sqrt 3 \) 

• Câu 3:

  Tam giác ABC có \(AB = \sqrt 2 ,AC = \sqrt 3 \) và \(\widehat C = {45^0}\). Tính độ dài cạnh BC.

  • A. \(BC = \sqrt 5 ;\) 
  • B. \(BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2};\)
  • C. \(BC = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2};\) 
  • D. \(BC = \sqrt 6 ;\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 63 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 63 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 64 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 6 trang 67 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 7 trang 67 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 8 trang 68 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 9 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 10 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 11 trang 70 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 9 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 10 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 11 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!