Giải bài 61 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thoả mãn \(BM = \frac{1}{3}BC,CN = \frac{5}{4}CA\). Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \)
b) MN
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 61
Phương pháp giải
Bước 1: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ để tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
Bước 2: Biến đổi \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BN} \) thành các vectơ chung gốc (gốc C) rồi tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \)
Bước 3: Sử dụng các quy tắc và định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để tính \(M{N^2} = {\left( {\overrightarrow {MN} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} } \right)^2}\) rồi tính độ dài MN
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
* \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = a.a.\cos {60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
* \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } \right)\left( {\overrightarrow {CN} - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CN} - \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
Ta có: + \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CN} = CM.CN.\cos \widehat {MCN} = \frac{{2a}}{3}.\frac{{5a}}{4}.\cos {60^0} = \frac{{5{a^2}}}{{12}}\)
+ \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CB} = \frac{2}{3}B{C^2} = \frac{{2{a^2}}}{3}\)
+ \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} .\frac{5}{4}\overrightarrow {CA} = \frac{5}{4}A{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)
+ \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = CA.CB.\cos \widehat {ACB} = a.a.\cos {60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CN} - \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \frac{{5{a^2}}}{{12}} - \frac{{2{a^2}}}{3} - \frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} = - {a^2}\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\), \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = - {a^2}\)
b) Ta có: \(M{N^2} = {\left( {\overrightarrow {MN} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} } \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}\)
\( = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2} = \frac{4}{9}B{C^2} + \frac{{25}}{{16}}A{C^2} + \frac{5}{3}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \)
\( = \frac{{289}}{{144}}{a^2} - \frac{5}{3}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} = \frac{{289}}{{144}}{a^2} - \frac{5}{3}.CB.CA.\cos \widehat {BCA}\) \( = \frac{{289}}{{144}}{a^2} - \frac{5}{6}{a^2} = \frac{{169{a^2}}}{{144}}\)
\( \Rightarrow M{N^2} = \frac{{169{a^2}}}{{144}} \Rightarrow MN = \frac{{13a}}{{12}}\)
-- Mod Toán 10 HỌC247
Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.
Bài tập SGK khác
Giải bài 59 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 60 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 62 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 64 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD