Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat B = {30^o},AB = 3\;cm.\) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} ;\;\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} .\)

Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

 a) \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA} \)

b) \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} \)

Chứng minh rằng với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), ta có:

\(\begin{array}{l}{(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\\{(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\\(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\end{array}\)

Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\).

Nếu hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM}  =  - 4\) thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?

A. MN = 4

B. MN = 2

C. MN = 16

D. MN = 256

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  < 0\)

B. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) > {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  > 0\)

C. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  > 0\)

D. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \ne {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  < 0\)

Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4,\;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {30^o}\)

b) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 6,\;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {120^o}\)

c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

d) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

b) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)

Cho tam giác ABC. Chứng minh: \(A{B^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  = 0\)

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH} \)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \)

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h.)

Cho tam giác ABC có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = {60^o}.\) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} .\)

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

c) Chứng minh \(AM \bot BD\).

Cho tam giác ABC. Giá trị của biểu thức \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \) bằng:

A. AB. AC. cos\(\widehat {BAC}\)   

B. – AB. AC. cos\(\widehat {BAC}\)            

C. AB. AC. cos\(\widehat {ABC}\)   

D. AB. AC. cos\(\widehat {ACB}\)

Cho tam giác ABC. Giá trị của biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) bằng:

A. AB. BC. cos\(\widehat {ABC}\)   

B. AB. AC. cos\(\widehat {ABC}\)               

C. – AB. BC. cos\(\widehat {ABC}\)

D. AB. BC. cos\(\widehat {BAC}\) 

Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thoả mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\) là:

A. Đường tròn tâm A bán kính AB                

B. Đường tròn tâm B bán kính AB                

C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB       

D. Đường tròn đường kính AB

Nếu hai điểm M, N thoả mãn \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM}  =  - 9\) thì:

A. MN = 9                  

B. MN = 3                  

C. MN = 81                

D. MN = 6

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thoả mãn \(BM = \frac{1}{3}BC,CN = \frac{5}{4}CA\). Tính:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \)

b) MN

Cho hình thoi ABCD cạnh a và \(\widehat A\)= 120°. Tính \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \).

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\) (*)

Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC. N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt \(x = \frac{{AN}}{{AC}}\). Tìm x thỏa mãn \(AM \bot BN\)

Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh rằng: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) (*)

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 650 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 35 km/h. Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị km/h).