Toán 10 Cánh Diều Bài 3: Khái niệm vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

- Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \), đọc là "“vectơ AB".

- Để vẽ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B (hình sau).

Đối với vectơ \(\overrightarrow {AB} \), ta gọi:

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) (hình sau):

+ Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} \), kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\).

Ví dụ: Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {C{\rm{D}}} \) và \(\overrightarrow {MN} \) ở hình sau, biết rằng độ dài cạnh của ô vuông bằng 1cm.

Giải

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 4cm,\left| {\overrightarrow {C{\rm{D}}} } \right| = 4cm,\\
\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\left( {cm} \right).
\end{array}\)

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 

Nhận xét: Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng.

Ví dụ: Trong hình sau, tìm vectơ cùng hướng với vectơ \({\overrightarrow {AB} }\); ngược hướng với vectơ \({\overrightarrow {AB} }\).

Giải

Vectơ \({\overrightarrow {CD} }\) cùng hướng với \({\overrightarrow {AB} }\), vectơ \({\overrightarrow {MN} }\) ngược hướng với vectơ \({\overrightarrow {AB} }\).

Khi không cẩn chỉ rõ điểm đậu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow u ,\overrightarrow v \),... (Hình sau). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\). 

Nhận xét

* Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b\).

* Khi cho trước vectơ \(\overrightarrow a\) và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \).

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD (Hình sau).

a) Vectơ nào bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \)?

b) Vectơ nào bằng vectơ \(\overrightarrow {AD} \).

Giải

a) Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và AB = DC nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

b) Vì \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và AD = BC nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).

Với các điểm bất kì A, B, C ta có: \(\overrightarrow 0  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow {BB}  = \overrightarrow {CC} \). 

Vectơ \(\overrightarrow {AA} \) nằm trên mọi đường thẳng đi qua A. Ta quy ước \(\overrightarrow 0\) (vectơ-không) cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ; \(\left| {\overrightarrow 0 } \right| = \overrightarrow 0 \). 

Nhận xét: Hai điểm A, trùng nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0 \).

Trong vật lí, một số đại lượng như: lực, vận tốc, ... là đại lượng có hướng. Người ta dùng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng đó, chẳng hạn:

Một lực \(\overrightarrow F\) tác động lên xe tại điểm đặt A; lực \(\overrightarrow F\) có phương nằm ngang, hướng từ sang phải và cường, độ là 40 N. Ta biểu thị lực \(\overrightarrow F\) bằng vectơ \(\overrightarrow AB\) như hình sau.

Ví dụ: Khi treo ba vật, mỗi vật sẽ tác dụng vào thanh treo một lực (trọng lực) như ở Hình sau. Nhận xét đặc điểm về phương, hướng của ba vectơ biểu thị trọng lực.

Giải

Trong vật lí, các vectơ trọng lực có cùng hướng nên ba vectơ \(\overrightarrow {{P_1}} ,\overrightarrow {{P_2}} ,\overrightarrow {{P_3}} \) biểu thị trọng lực có cùng hướng.

Câu 1: Cho tam giác ABC. Viết tất cả các vectơ mà điểm đầu và điểm cuối là A, B hoặc C.

Hướng dẫn giải

Các vectơ đó là: \(\overrightarrow {AA} ,\;\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {BA} ,\;\overrightarrow {BB} ,\;\overrightarrow {CC} ,\;\overrightarrow {CA} ,\;\overrightarrow {CB} ,\;\overrightarrow {CC} .\)

Câu 2: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} .\) Tứ giác ABCD là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} .\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.\)

Do đó tứ giác ABCD có một cặp cạnh đối song và bằng nhau

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Hiểu khái niệm vectơ, vectơ - không, độ dài vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng nhau.

- Biết được vectơ không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

- Chứng minh được hai vectơ bằng nhau.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là:

  • A. \(DE;\)
  • B. \(\left| {\overrightarrow {DE} } \right|;\)
  • C. \(\overrightarrow {ED} ;\) 
  • D. \(\overrightarrow {DE} ;\) 

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC, có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C.

  • A. 3
  • B. 6
  • C. 4
  • D. 9

• Câu 3:

  Cho tứ giác ABCD, có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không, có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?

  • A. 4
  • B. 6
  • C. 8
  • D. 12

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Câu hỏi khởi động trang 79 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 79 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 81 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 82 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 82 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 82 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 82 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 82 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 22 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 23 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 24 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 25 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 26 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 27 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 28 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 29 trang 85 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 30 trang 86 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 31 trang 86 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!