Toán 10 Cánh Diều Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượtcó các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) ta có:  + \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương. + \({\Delta _1}\) song song \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại. + \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta :x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3  = 0\) và mỗi đường thẳng sau:

\(\begin{array}{l}
{\Delta _1}:\sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0;\\
{\Delta _2}:\sqrt 2 x - 2y = 0.
\end{array}\)

Giải

Vì \(\begin{array}{l}
x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 } \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0.
\end{array}\)

Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _1}}\) là một, tức là chúng trùng nhau. 

Hai đường thẳng \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 } \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - 2} \right)\) cùng phương. 

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng \({{\Delta _2}}\) nhưng không thuộc đường thẳng \({{\Delta}}\) nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) song song với nhau. 

- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng. - Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°. - Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức \(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Chú ý

+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\). 

+ Nếu \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) thì góc \(\varphi \) giữa \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) cũng được xác định thông qua công thứ \(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\)

Ví dụ: Tỉnh góc giữa hai đường thằng

\({\Delta _1}:\sqrt 3 x - y + 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x - \sqrt 3 y - 2 = 0\). 

Giải

Vectơ pháp tuyến của \({{\Delta _1}}\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\), của \({{\Delta _2}}\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\). Ta có

\(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + \left( { - 1} \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)  

Do đó, góc giữa \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) là \(\varphi  = {30^0}\). 

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 12 = 0.\) 

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\), ta có

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\)

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\) là 2.

Câu 1:  Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y =  - 2 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2{t_2}\\y =  - 3 + 2{t_2}\end{array} \right.\) 

Hướng dẫn giải 

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;2} \right)\). Ta thấy, \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \).

Chọn điểm \(A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _1}\). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) ta được \({t_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _2}\).

Vậy 2 đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

Câu 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong môi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 3\sqrt 3 t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\)  và \({\Delta _2}:y - 4 = 0\)

b)  \({\Delta _1}:2x - y = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 3y - 5 = 0\) 

Hướng dẫn giải 

a) - Ta có:

\(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3\sqrt 3 ;3} \right);\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1  ;0} \right) \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3\sqrt 3 .1 + 3.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

- Vậy \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}\)

b) - Ta có

\(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 1  ;3} \right) \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

- Vậy \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}\) 

Câu 3: 

a) Tính khoảng cách từ điểm \(O\left( {0{\rm{;}}0} \right)\) đến đường thẳng  \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1\)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}:x - y + 1 = 0\)và \({\Delta _2}:x - y - 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\Delta \):\(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)

Vậy khoảng cách từ O đến \(\Delta \) là: \(d\left( {O;\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.0 - 2.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

b) Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in {\Delta _1}\)

Suy ra: \(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Biết cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.

- Biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng.

- Xác định vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng.

- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d1: 3x – 4y + 2 = 0 và d2: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:

  • A. m = ±1
  • B. m = 1 và m = 4
  • C. m = ±4
  • D. m = - 1 và m = 4

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 3x – y + 4 = 0, AC: x + 2y – 4 = 0, BC: 2x + 3y – 2 = 0. Khi đó diện tích của tam giác ABC là:

  • A. \(\frac{1}{{77}}\)
  • B. \(\frac{38}{{77}}\)
  • C. \(\frac{338}{{77}}\)
  • D. \(\frac{380}{{77}}\)

• Câu 3:

  Cho đường thẳng ∆ có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x =  - 2 + 5t}\\
  {y = 3 - 2t}
  \end{array}} \right.\). Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng ∆?

  • A. M₁ (- 2; 5)
  • B. M₂ (3; 1)
  • C. M₃ (2; - 3)
  • D. M₄ (5; -2)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 81 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 1 trang 82 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 2 trang 82 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 3 trang 83 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 4 trang 83 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 5 trang 84 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 3 trang 84 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 6 trang 85 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 2 trang 84 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 1 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 2 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 3 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 4 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 5 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 6 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 7 trang 86 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 33 trang 81 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 34 trang 81 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 35 trang 81 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 36 trang 81 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 37 trang 81 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 38 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 39 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 40 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 41 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 42 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 43 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 44 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 45 trang 82 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 46 trang 83 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!