Toán 10 Cánh Diều Bài 5: Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn ở dạng trên thường được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn.

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.

Đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh R'= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\).  

Chú ý: Do có duy nhất một đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước nên ta có thể lập được phương trình đường tròn đó khi biết toạ độ của ba điểm nói trên.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).

Giải

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1 2), \(N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Đường thẳng trung trực \({\Delta _1}\) của đoạn thằng AB đi qua M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) nên \({\Delta _1}\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình của \({\Delta _1}\) là

1(x - 1) - 2(y - 2)= 0 hay x - 2y + 3 = 0.

Đường thẳng trung trực \({\Delta _2}\) của đoạn thẳng AC đi qua \(N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AC} \left( { - 9,{\rm{ }}3} \right)\).

Vi A \( \in \) (-9; 3) cùng phương với n; (3 - 1) nên Az cũng nhận n; (3 - 1) là vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trinh của \({\Delta _2}\) là

\(3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\) hay \(3x - y + 9 = 0\) 

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 3 = 0\\
3x - y + 9 = 0
\end{array} \right.\)

Suy ra I(-3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\). 

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { - 1;2} \right)\), nên có phương trình 

\( - 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\).

Câu 1: Viết phương trình đường tròn tâm I(6 ; - 4) đi qua điểm A(8 ; – 7).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn tâm I  bán kính \(IA = \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \) là:

\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 13\)

Câu 2: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1 ; – 3).

Hướng dẫn giải

Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {3; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}\)

Câu 3: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - {\rm{ }}1{\rm{ }};-4} \right)\) thuộc đường tròn\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 25\)

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 7} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - {\rm{ }}1{\rm{ }};-4} \right)\) thuộc đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 25\) là: \(\left( { - 1 - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( { - 4 + 7} \right)\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4x + 3y + 8 = 0\)  

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Lập phương trình đường tròn khi biết toa độ tâm và bán kính hoặc biết toạ độ ba điểm thuộc đường tròn.

- Xác định tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình của nó.

- Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết toạ độ của tiếp điểm.

- Vận dụng kiến thức về phương trình đường tròn để giải một số bài toán liên quan đền thực tiến.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2}\; + \;{y^2}\; + \;2x\;-\;8y\; + \;8\; = \;0\). Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với

  • A. \(I\left( {2; - 8} \right),\;R = 2\sqrt 2 \) 
  • B. \(I\left( {1; - 4} \right),\;R = 3\) 
  • C. \(I\left( { - 1;4} \right),R = 3\) 
  • D. \(I\left( {1; - 4} \right),R = 2\sqrt 2 \) 

• Câu 2:

  Điều kiện của m để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2\left( {m - 3} \right)x - 2\left( {2m + 1} \right)y + 3m + 10 = 0\). Là phương trình của một đường tròn là:

  • A. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) 
  • B. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) 
  • C. \(m \in \left( {0;1} \right)\) 
  • D. \(m \in \left[ {0;1} \right]\) 

• Câu 3:

  Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 6), B(-3; 2) là

  • A. \({x^2} + {y^2} + 2x - 8y + 9 = 0\) 
  • B. \({x^2} + {y^2} - 2x + 8y + 9 = 0\) 
  • C. \({x^2} + {y^2} + 2x - 8y - 15 = 0\) 
  • D. \({x^2} + {y^2} - 2x + 8y - 15 = 0\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 2 trang 87 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 3 trang 88 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 1 trang 88 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 2 trang 89 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 3 trang 89 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 4 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 4 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 1 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 2 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 3 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 4 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 6 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 7 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 47 trang 88 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 48 trang 88 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 49 trang 88 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 50 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 51 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 52 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 53 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 54 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 55 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 56 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 57 trang 90 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 58 trang 90 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!