Toán 10 Cánh Diều Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Ví dụ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;5} \right),\overrightarrow b  = \left( {4; - 2} \right)\). Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow a  - \overrightarrow b ,3\overrightarrow a , - 5\overrightarrow b \)

Giải

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 + 4;5 + \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {5;3} \right);\\
\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {1 - 4;5 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3;7} \right);\\
3\overrightarrow a  = \left( {3.1;3.5} \right) = \left( {3;15} \right);\\
 - 5.\overrightarrow b  = \left( { - 5.4; - 5.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 20;10} \right)
\end{array}\)

+ Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Toa độ trung điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) của đoạn thẳng AB là

\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\)

+ Cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Toa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) của tam giác ABC là:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\)

Ví dụ

Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)

a) Tìm toa đô trung điểm E của cạnh MN.

b) Tìm toa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải

Ta có: \({x_E} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\). Vậy \(E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\)

Ta có: \({x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 6 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3};{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3}\)

Vậy \(G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; - 1), C(8; 0).

a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) và \(cos\widehat {ABC}\).

b) Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \). 

c) Giải tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {7;1} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 1.7 + 3.1 = 10\).

Mặt khác, ta cũng có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} ,\\
cos\widehat {ABC} = cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}
\end{array}\) 

b) Do \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1} \right).6 + \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = 0\). 

Vậy \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \). 

c) Do \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \) nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\), tức là tam giác ABC vuông tại A.

Mà \(cos\widehat {ABC} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) nên \(\widehat {ABC} \approx {63^0}\). Vì thế \(\widehat {ACB} \approx {90^0} - {63^0} = {27^0}\).

Mặt khác, ta có: 

\(\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {10} ,\\
BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 ,\\
CA = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}  = 2\sqrt {10} 
\end{array}\) 

Câu 1: 

a) Cho \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {0;6} \right),\overrightarrow w  = \left( { - 2;3} \right)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w \)

b) Cho \(\overrightarrow u  = \left( {\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow w \)sao cho \(\overrightarrow w  + \overrightarrow u  = \overrightarrow v \)

Hướng dẫn giải

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w \) là: \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w  = \left( { - 2 + 0 + \left( { - 2} \right);0 + 6 + 3} \right) = \left( { - 4;9} \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow w  + \overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow w  = \overrightarrow v  - \overrightarrow u \) nên \(\overrightarrow w  = \left( {0 - \sqrt 3 ; - \sqrt 7  - 0} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 7 } \right)\)

Câu 2: Cho ba điểm A(-1; 1), B(1;5), G(1 ; 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải 

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {AG}  = \left( {2;1} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB}  \ne k.\overrightarrow {AG} \) nên A, B, G không thẳng hàng

b) Giả sử C có tọa độ là: \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\)

Để G là trọng tâm tam giác ABC thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3.1 - \left( { - 1} \right) - 1 = 3\\{y_C} = 3.2 - 1 - 5 = 0\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm C là: \(C\left( {3;0} \right)\)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Biết tìm toạ độ các vectơ tổng, hiệu, tích một số với một vectơ.

- Biết sử dụng công thức toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm tam giác.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC có A(–2; 2), B(6; –4), đỉnh C thuộc trục Ox. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết rằng G thuộc trục Oy 

  • A. G(0;2/3) 
  • B. G(0;-2/3) 
  • C. G(3; -2/3) 
  • D. G(-3;-2/3) 

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC có A(–1; 1); B(5; –3); C(0; 2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy xác định tọa độ của điểm G1 là điểm đối xứng của G qua trục Oy.

  • A. G1 (4/3;0) 
  • B. G1 (-4/3;3) 
  • C. G1 (-4/3;2)
  • D. G1 (-4/3;0) 

• Câu 3:

  Cho M(2; 0), N(2; 2), P(–1; 3) là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tọa độ điểm B là:

  • A. B(1; 1) 
  • B. B(–1; –1) 
  • C. B(–1; 1) 
  • D. B(–1; 5) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 4 trang 70 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 1 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 2 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 3 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 4 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 5 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 6 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 7 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 12 trang 66 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 13 trang 66 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 14 trang 66 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 15 trang 66 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 16 trang 66 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 17 trang 66 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 18 trang 67 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 19 trang 67 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 20 trang 67 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 21 trang 67 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 22 trang 67 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 23 trang 67 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!