Giải bài 46 trang 83 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng là đường đi của 2 tàu A và B dựa vào PT đường đi của tàu A và tọa độ của tàu B

Bước 2: Tính cosin giữa hai vectơ chỉ phương tìm được ở bước 1 và lấy giá trị dương để tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B

Bước 3: Tìm tọa độ 2 điểm M, N (tham số hóa tọa độ 2 điểm M, N) ở 2 vị trí mà tàu A và tàu B đến sau khi xuất phát t giờ. Tìm t để MN đạt GTNN

Lời giải chi tiết

a) Tàu A chuyển động theo chiều vectơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = (36;8)\); tàu B chuyển động theo chiều vectơ \(\overrightarrow {{u_2}}  = (8; - 36)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 36.8 + 8.( - 36) = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = 0\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu. Khi đó \(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = 0\)

b) Sau t giờ: tàu A ở vị trí điểm \(M(7 + 36t; - 8 + 8t)\); tàu B ở vị trí điểm \(N(9 + 8t;5 - 36t)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = ( - 28t + 2; - 44t + 13) \Rightarrow MN = \sqrt {{{( - 28t + 2)}^2} + {{( - 44t + 13)}^2}} \)

                                               \( \Leftrightarrow M{N^2} = {( - 28t + 2)^2} + {( - 44t + 13)^2} = 2720{t^2} - 1256t + 173\)

Theo giả thiết, MN đạt GTNN \( \Leftrightarrow M{N^2}\) đạt GTNN

Xét \(M{N^2} = 2720{t^2} - 1256t + 173 = 2720{\left( {t - \frac{{157}}{{680}}} \right)^2} + \frac{{4761}}{{170}}\)\( \ge \frac{{4761}}{{170}}\) \( \Rightarrow MN \ge \sqrt {\frac{{4761}}{{170}}} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = \(\frac{{157}}{{680}}\)

Vậy sau \(\frac{{157}}{{680}}\) giờ thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau một khoảng là 5,29 km

-- Mod Toán 10 HỌC247