Toán 10 Cánh Diều Bài 3: Phương trình đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) thì k\(\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow u \left( {-b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nêu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {4; - 1} \right)\).

Giải

Phương trinh tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y =  - 3 - t
\end{array} \right.\)

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Nhận xét

+ Nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thi k\(\overrightarrow n \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2: 1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Giải

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là 3(x - 2)+ 4(y - 1) = 0 hay 3x + 4y - 10 = 0

Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): ax + by + c = 0

+ Nếu b = 0 thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng x = m (với \(m =  - \frac{c}{a}\)) và \(\Delta \) vuông góc với Ox.

+ Nếu \(b \ne 0\) thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng y =  nx + p (với \(n =  - \frac{a}{b},p =  - \frac{c}{b}\))

Khi lập phương trình đường thẳng, ta thường gặp ba trường hợp như sau:

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ pháp tuyến.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết vectơ chỉ phương.

- Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\left( {\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\left( {\overrightarrow u  \ne \vec 0} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\) (t là tham số).

Nếu \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng A ở dạng: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\). 

c) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right),B\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0}} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Do đó. phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + \left( {{x_1} - {x_0}} \right)t\\
y = {y_0} + \left( {{y_1} - {y_0}} \right)t
\end{array} \right.\) (t là tham số).

Nếu \({x_1} - {x_0} \ne 0\) và \({y_1} - {y_0} \ne 0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) ở dạng:

\(\frac{{x - {x_0}}}{{{x_1} - {x_0}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{y_1} - {y_0}}}\)

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng A thoả mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(- 2 ; - 3) và có \(\overrightarrow n  = \left( {2;5} \right)\) là vectơ pháp tuyến;

b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(3 ; - 5) và có \(\overrightarrow u  = \left( {2;-4} \right)\) là vectơ chỉ phương;

c) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm A(- 3; 4) và B( 1; - 1).

Giải

a) Phương trình \(\Delta\) là 2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 ⇔ 2x + 5y + 19 =0.

b) Phương trình \(\Delta\) là \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\). 

c) Phương trình \(\Delta\) là \(\frac{{x + 3}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{y - 4}}{{\left( { - 1} \right) - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0\). 

Câu 1: Cho đường thẳng \(\Delta \)có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right.\) 

a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Điểm nào trong các điểm \(C( - 1: - 1).{\rm{ }}D\left( {1:3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \)?

Hướng dẫn giải

a) Chọn \(t = 0;t = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {1; - 2} \right),B\left( { - 1; - 1} \right)\)

b) +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2t\\ - 1 =  - 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên C không thuộc đường thẳng \(\Delta \)

+) Thay tọa độ điểm D vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2t\\3 =  - 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên D không thuộc đường thẳng \(\Delta \)

Câu 2: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là\(x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) .

a) Chỉ ra toạ độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Chỉ ra toạ độ của hai điểm thuộc \(\Delta \).

Hướng dẫn giải

a) Tọa độ vecto pháp tuyến của \(\Delta \) là:  

Tọa độ vecto chỉ phương của \(\Delta \) là:

b) Chọn \(x = 0;x = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;2} \right)\)

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Nắm được khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, nắm cách viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết 1 vectơ chỉ phương và đi qua 1 điểm.

- Nắm mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\vec u\left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của ∆?

  • A. \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3; - 5} \right)\)
  • B. \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 6;10} \right)\)
  • C. \(\overrightarrow {{u_3}} \left( { - 1;\frac{5}{3}} \right)\) 
  • D. \(\overrightarrow {{u_4}} \left( {5;3} \right)\) 

• Câu 2:

  Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:

  • A. y = 4(x – 2) + 3
  • B. 4x – y – 5 = 0
  • C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {x = 2 + t}\\
    {y = 3 + 4t}
    \end{array}} \right.,t \in R\) 
  • D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
    {x = 2 + 2t}\\
    {y = 3 + t}
    \end{array}} \right.,t \in R\) 

• Câu 3:

  Cho hai đường thẳng \(d_1\): 3x – 4y +2 = 0 và  \(d_2\): mx +2y – 3 = 0. Hai đường thẳng song song với nhau khi:

  • A. m = 3 
  • B. m = 3/2 
  • C. m = -3/2
  • D. m = -3 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 7 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 4 trang 75 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Luyện tập 2 trang 76 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Hoạt động 5 trang 76 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 1 trang 79 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 2 trang 79 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 3 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 4 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 5 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 6 trang 80 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 24 trang 73 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 25 trang 73 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 26 trang 73 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 27 trang 73 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 28 trang 73 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 29 trang 73 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 30 trang 73 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 31 trang 74 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Giải bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!