Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Nhận xét: Phương trình (1) tương đương với \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} - {R^2}} \right) = 0\). 

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)

Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.

Đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh R'= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\). 

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI}  = \left( { - 1;2} \right)\), nên có phương trình 

\( - 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\).

Câu 1: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a)  (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\)

b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\)

c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\)

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\)

b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\)

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  M và nhận vt \(\overrightarrow {BA}  = (1;3)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(x + 3y - 8 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  N và nhận vt \(\overrightarrow {AC}  = (3; - 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(3x - y - 4 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\)

Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\) tại điểm \(A(4;6)\)

Hướng dẫn giải 

Ta có \({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\), nên điểm A thuộc (C)

Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\) có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(A(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {4 - 1} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {6 - 2} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y + 16 = 0\end{array}\)

Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:

- Lập phương trình đường tròn khi biết toa độ tâm và bán kính hoặc biết toạ độ ba điểm thuộc đường tròn.

- Xác định tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình của nó.

- Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết toạ độ của tiếp điểm.

- Vận dụng kiến thức về phương trình đường tròn để giải một số bài toán liên quan đền thực tiến.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Đường tròn đường kính AB với \(A(1;1),B(7;5)\) có phương trình là gì?

  • A. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0\) 
  • B. \({x^2} + {y^2} +8x - 6y - 12 = 0\) 
  • C. \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0\) 
  • D. \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y - 12 = 0\) 

• Câu 2:

  Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\).

  • A. \(I(3;-1),R=4\) 
  • B. \(I(-3;1),R=4\) 
  • C. \(I(3;-1),R=2\) 
  • D. \(I(-3;1),R=2\) 

• Câu 3:

  Đường tròn đường kính AB với \(A\left( {3; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {1; - 5} \right)\) có phương trình là:

  • A. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5.\) 
  • B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 17.\) 
  • C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = \sqrt 5 .\) 
  • D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 5.\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 59 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 1 trang 60 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 2 trang 61 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 1 trang 61 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 2 trang 61 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 61 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 3 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 3 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 63 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 63 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 1 trang 69 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 2 trang 70 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 3 trang 70 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 4 trang 70 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 5 trang 70 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 6 trang 70 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!