Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Tọa độ của vectơ

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục toạ độ Oxy được gọi là mặt phẳng toa độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

*Toạ độ của một vectơ

Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biêu diễn \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \) được gọi là toạ độ của vectơ \(\overrightarrow a \). kí hiệu \(\overrightarrow a \) = (x, y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ \(\overrightarrow a \).

Chú ý:

+ \(\overrightarrow a  = \left( {x,y} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \)

+ Nếu cho \(\overrightarrow a  = \left( {x,y} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x',y'} \right)\) thì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x'\\
y = y'
\end{array} \right.\)

*Toạ độ của một điểm

Trong mặt phẳng toa độ, cho một điểm M tuỳ ý. Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) được gọi là toạ độ của điểm M.

Nhận xét:

+ Nếu \(\overrightarrow {OM}  = \left( {x;y} \right)\) thì cặp số (x; y) là toa độ của điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M

+ \(M\left( {x;y} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \) 

Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x_M, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y_M. Khi đó ta việt M(x_M; y_M).

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C được biểu điễn như Hình sau.

a) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} \) qua hai vectơ \(\overrightarrow i\) và \(\overrightarrow j \) .

b) Tìm toa độ của các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và các điểm A, B, C.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j ,\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j ,\overrightarrow {OC}  =  - 2\overrightarrow i  - \overrightarrow j \) 

b) Từ kết quả trên, suy ra: \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {OA}  = (1;3),\overrightarrow b  = \overrightarrow {OB}  = (3;0),\overrightarrow c  = \overrightarrow {OC}  = ( - 2; - 1)\)

Do đó A(1; 3), B(3: 0), C(-2; -1)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\) và số thưucj k. Khi đó: \(\begin{array}{l} 1)\;\;\;\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right);\\ 2)\;\;\;\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {{a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2}} \right);\\ 3)\;\;\;k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right);\\ 4)\;\;\;\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}. \end{array}\)

Ví dụ: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;5} \right),\overrightarrow b  = \left( {4; - 2} \right)\). Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow a  - \overrightarrow b ,3\overrightarrow a , - 5\overrightarrow b \)

Giải

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 + 4;5 + \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {5;3} \right);\\
\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {1 - 4;5 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3;7} \right);\\
3\overrightarrow a  = \left( {3.1;3.5} \right) = \left( {3;15} \right);\\
 - 5.\overrightarrow b  = \left( { - 5.4; - 5.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 20;10} \right)
\end{array}\)

* Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\)

* Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Toa độ trung điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) của đoạn thẳng AB là

\({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\)

Cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Toa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) của tam giác ABC là:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\)

Ví dụ

Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(2; 2), N(6; 3) và P(5; 5)

a) Tìm toa đô trung điểm E của cạnh MN.

b) Tìm toa độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải

Ta có: \({x_E} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_E} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\). Vậy \(E\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\)

Ta có: \({x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 6 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3};{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 5}}{3} = \frac{{10}}{3}\)

Vậy \(G\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\)

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \)

Hướng dẫn giải

Cho điểm M(x;y) bất kì, xác định \({M_1},{M_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông  góc của M xuống trục hoành và trục tung

Dễ thấy \(\overrightarrow {O{M_1}}= x\overrightarrow i ; \, \overrightarrow {O{M_2}}  = y \overrightarrow j \)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {O{M_2}}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \)

Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là (x;y), trùng với tọa độ điểm M.

Câu 2: Cho hai vectơ \(\overrightarrow m  = \left( { - 6;1} \right),\overrightarrow n  = \left( {0;2} \right)\)

a) Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow m  + \overrightarrow n ,\overrightarrow m  - \overrightarrow n ,10\overrightarrow m , - 4\overrightarrow n \)

b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow m .\overrightarrow n ,\left( {10\overrightarrow m } \right).\left( { - 4\overrightarrow n } \right)\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow m  + \overrightarrow n  = \left( {\left( { - 6 + 0} \right);1 + 2} \right) = ( - 6;3)\\\overrightarrow m  - \overrightarrow n  = \left( {\left( { - 6 - 0} \right);\left( {1 - 2} \right)} \right) = \left( { - 6; - 1} \right)\\10\overrightarrow m  = (10.( - 6);10.1) = ( - 60;10)\\ - 4\overrightarrow n  = (( - 4).0;( - 4).2) = (0; - 8)\end{array}\)

b) Ta có

\(\overrightarrow m .\overrightarrow n  = ( - 6).0 + 1.2 = 0 + 2 = 2\)

Ta có \(10\overrightarrow m  = ( - 60;10)\) và \( - 4\overrightarrow n  = (0; - 8)\) nên \(\left( {10\overrightarrow m } \right).\left( { - 4\overrightarrow n } \right) = ( - 60).0 + 10.( - 8) = 0 - 80 =  - 80\)

Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:

- Biết biểu diễn các điểm và các vectơ bằng các cặp số trong hệ trục toạ độ đã cho.

- Biết tìm toạ độ các vectơ tổng, hiệu, tích một số với một vectơ.

- Biết sử dụng công thức toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm tam giác.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho \(\vec u\; = \;\left( {\frac{1}{2};\; - 5} \right);\;\vec v\left( {m;\;4} \right)\). Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương khi m bằng:

  • A. \(\frac{1}{2}\) 
  • B. \(\frac{5}{2}\) 
  • C. \(\frac{-2}{5}\) 
  • D. 2 

• Câu 2:

  Cho ba điểm M(2; 2), N( - 4; - 4), P(5; 5). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A. M nằm giữa N và P
  • B. N nằm giữa M và P
  • C. P nằm giữa M và N 
  • D. M, N, P không thẳng hàng 

• Câu 3:

  Trong các vectơ sau đây, có bao nhiêu cặp vectơ cùng phương?  \(\overrightarrow a \left( { - 1;\;2} \right);\;\overrightarrow b \left( {\frac{3}{2};\; - 3} \right);\;\overrightarrow c \left( {3;\; - 5} \right);\;\overrightarrow d \left( { - 2;\;\frac{{10}}{3}} \right)\) 

  • A. Điểm đối xứng của A(–2; 1) qua gốc tọa độ O là (1; –2)
  • B. Điểm đối xứng của A(–2; 1) qua trục tung là (2; 1)
  • C. Điểm đối xứng của A(–2; 1) qua trục hoành là (–2; –1)
  • D. Điểm đối xứng của A(–2; 1) qua H (1; 1) là ( 4; 1).

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khởi động trang 38 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 1 trang 38 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 38 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 3 trang 39 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 1 trang 40 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 1 trang 40 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 4 trang 40 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 2 trang 41 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 2 trang 41 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 5 trang 41 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 3 trang 42 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 6 trang 42 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 4 trang 43 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 7 trang 43 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 5 trang 44 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 3 trang 44 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 44 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 8 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 9 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 10 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 11 trang 45 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 1 trang 58 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 2 trang 58 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 3 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 4 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 5 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 6 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 7 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 8 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 9 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 10 trang 59 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 11 trang 60 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 12 trang 60 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!