Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Cho hai điểm cố định và phân biệt \({F_1},{F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gợi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1},{F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gợi là tiêu cự của elip đó. 

Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Giải

Ta có: a2 = 25, b2 = 16. Do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25}  = 5\), nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.

Cho hai điểm phân biệt có định \({F_1}\) và \({F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2c\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({{F_1},{F_2}}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó. 

Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Giải

Ta có \({a^2} = 9,{b^2} = 16\), nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\) và có tiêu cự 2c = 10. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2{\rm{a}} = 2\sqrt 9  = 6\).

Ví dụ: Cho parabol \((P):{y^2} = x\). 

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3. 

Giải

a) Ta có 2p = 1 nên \(p = \frac{1}{2}\). 

Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{1}{4}\) 

b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuuọc (P) có khoảng các tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3.

Do \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) nên \(d\left( {M,\Delta } \right) = 3\)

Mặt khác \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}.\)

Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} =  - \frac{{\sqrt {11} }}{2}\). 

Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\). 

Câu 1: Viết phương trình chính tắc của elip trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(a = 3,c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 \)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

Câu 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(2c = 10 \Rightarrow c = 5,2b = 6 \Rightarrow b = 3\)

Suy ra \(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Câu 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\) ta có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\)

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2x\)

Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:

- Nắm vững được KN và PT đường chuẩn của (E) và (H).

- Nắm vững được ĐN ba đường cô nic.

- Xác định được PT đường chuẩn của các đường cônic.

- Lập được PT của cônic khi biết PT đường chuẩn và tâm sai của nó.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm \(F(-3;0)\). Phương trình chính tắc của elip là gì?

  • A. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{9}} = 1\) 
  • B. \(\dfrac{{{x^2}}}{100} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) 
  • C. \(\dfrac{{{x^2}}}{100} + \dfrac{{{y^2}}}{{81}} = 1\) 
  • D. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) 

• Câu 2:

  Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.

  • A. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) 
  • B. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{{9}} = 1\) 
  • C. \(\dfrac{{{x^2}}}{100} + \dfrac{{{y^2}}}{{81}} = 1\) 
  • D. \(\dfrac{{{x^2}}}{25} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) 

• Câu 3:

  Cho biết Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) có độ dài trục bé bằng bao nhiêu?

  • A. 8
  • B. 10
  • C. 16
  • D. 20

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 64 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 64 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 1 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 1 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 3 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 4 trang 66 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 2 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 2 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 5 trang 68 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá 6 trang 68 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 1 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 2 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 3 trang 75 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 4 trang 76 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 5 trang 76 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 6 trang 76 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!