Hoạt động 5 trang 74 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).
a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:
\(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) ở đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
b) Bằng cách sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\),hãy chứng tỏ rằng: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
Hướng dẫn giải chi tiết Hoạt động 5
Phương pháp giải
Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.
Bước 2: Tính sin A theo cos A.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \).
\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)
Đặt \(M = \sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2})(2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right].\left[ {{a^2} - {{(b - c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c - a)(b + c + a)(a - b + c)(a + b - c)} \end{array}\)
Ta có: \(a + b + c = 2p\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c - a = 2p - 2a = 2(p - a)\\a - b + c = 2p - 2b = 2(p - b)\\a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p - a).2p.2(p - b).2(p - c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p - a).p.(p - b).(p - c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \end{array}\)
b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)
Mà \(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} .\end{array}\)
-- Mod Toán 10 HỌC247
-
Cho biết tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat{B}= 58^0\) và cạnh \(a = 72 cm\). Tính \(\widehat{C}\), cạnh \(b\), cạnh \(c\) và đường cao \(h_a\)
bởi thu phương 29/08/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Hoạt động 4 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 74 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 76 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 6 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 7 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 12 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 13 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 14 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 15 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 16 trang 79 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 17 trang 80 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 18 trang 80 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 19 trang 80 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD